對跖點 (數學)

關於地球上某個地點的地理上的對跖點，請參見「對跖點」

兩點P和P' （紅色）是對映的，因為它們是直徑PP'的端點，直徑 PP ' 是軸a （紫色）穿過球心O （黑色）的一段。 P和P'是大圓g （綠色）的極點，其各點之間的距離相等（具有中心直角）。任何經過兩極的大圓s （藍色）都是次於g的。

在數學中，如果球面（或n 維球面，包括圓）上的兩點是直徑的端點，則這兩點被稱為對映點或直徑相對點。直徑是球面上兩點之間通過球心的直線段。

給定球體上的任意一點，其對映點都是距離最遠的唯一點，無論是內在測量（球體表面的大圓距離）還是外在測量（球體內部的弦距離）。球面上每個經過某一點的大圓也經過該點的對跖點，並且有無數個大圓經過一對對跖點（不同於任何非對跖點對的情況，它們都有一個唯一的大圓經過這兩個點）。球面幾何中的許多結果取決於選擇非對跖點，如果允許對跖點，則結果會退化；例如，如果兩個頂點是對跖點，則球面三角形會退化為未指定的月牙形。

與給定點相對的點稱為其對跖點，源自希臘語ἀντίποδες （ antípodes ）意為「對立的腳」。有時會去掉s ，這就形成antipode ，即逆構詞法。

高等數學

對跖點的概念可以推廣到任意維度的球體：如果球體上的兩點通過中心相對，那麼它們就是對跖點。通過中心的每條線與球體相交於兩個點，每條從中心發出的射線與球體相交於一個點，這兩個點是對立的。

博爾蘇克-烏拉姆定理是代數拓撲處理此類點對的結果。它表示任何連續函數$S^{n}$到$\mathbb {R} ^{n}$映射一些對映點$S^{n}$到同一點$\mathbb {R} ^{n}.$這裡， $S^{n}$表示$n$-dimensional球體和$\mathbb {R} ^{n}$是$n$-dimensional實坐標空間。

對跖點地圖$A:S^{n}\to S^{n}$將球體上的每個點發送到其對跖點。如果點$n$-sphere以歐幾里得坐標表示為球體中心的位移矢量$(n+1)$-space,則兩個對映點由加法逆元表示$\mathbf {v}$和$-\mathbf {v} ,$對映體圖可以定義為$A(\mathbf {x} )=-\mathbf {x} .$當同倫恆等函數 $n$是奇數，當$n$是偶數。其度為$(-1)^{n+1}.$

如果確定了對跖點（視為等價），則球面成為實射影空間的模型。

參見

• 切割軌跡

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Antipodes, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• antipodal. PlanetMath.