对跖点 (数学)

关于地球上某个地点的地理上的对跖点，请参见“对跖点”

两点P和P' （红色）是对映的，因为它们是直径PP'的端点，直径 PP ' 是轴a （紫色）穿过球心O （黑色）的一段。 P和P'是大圆g （绿色）的极点，其各点之间的距离相等（具有中心直角）。任何经过两极的大圆s （蓝色）都是次于g的。

在数学中，如果球面（或n 维球面，包括圆）上的两点是直径的端点，则这两点被称为对映点或直径相对点。直径是球面上两点之间通过球心的直线段。

给定球体上的任意一点，其对映点都是距离最远的唯一点，无论是内在测量（球体表面的大圆距离）还是外在测量（球体内部的弦距离）。球面上每个经过某一点的大圆也经过该点的对跖点，并且有无数个大圆经过一对对跖点（不同于任何非对跖点对的情况，它们都有一个唯一的大圆经过这两个点）。球面几何中的许多结果取决于选择非对跖点，如果允许对跖点，则结果会退化；例如，如果两个顶点是对跖点，则球面三角形会退化为未指定的月牙形。

与给定点相对的点称为其对跖点，源自希腊语ἀντίποδες （ antípodes ）意为“对立的脚”。有时会去掉s ，这就形成antipode ，即逆构词法。

高等数学

对跖点的概念可以推广到任意维度的球体：如果球体上的两点通过中心相对，那么它们就是对跖点。通过中心的每条线与球体相交于两个点，每条从中心发出的射线与球体相交于一个点，这两个点是对立的。

博尔苏克-乌拉姆定理是代数拓扑处理此类点对的结果。它表示任何连续函数$S^{n}$到$\mathbb {R} ^{n}$映射一些对映点$S^{n}$到同一点$\mathbb {R} ^{n}.$这里， $S^{n}$表示$n$-dimensional球体和$\mathbb {R} ^{n}$是$n$-dimensional实坐标空间。

对跖点地图$A:S^{n}\to S^{n}$将球体上的每个点发送到其对跖点。如果点$n$-sphere以欧几里得坐标表示为球体中心的位移矢量$(n+1)$-space,则两个对映点由加法逆元表示$\mathbf {v}$和$-\mathbf {v} ,$对映体图可以定义为$A(\mathbf {x} )=-\mathbf {x} .$当​​ $n$是奇数，当$n$是偶数。其度为$(-1)^{n+1}.$

如果确定了对跖点（视为等价），则球面成为实射影空间的模型。

参见

• 切割轨迹

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Antipodes, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• antipodal. PlanetMath.