在优化理论中,自协调函数(英语:Self-concordant function)是一个函数
其中
或者,等价地,一个函数
无论何处
满足
并且满足
在其他地方。
更一般地,多元函数
是自协调的,如果
或者,等效地,如果它对任意行的限制是协调的[1]。
若
和
是自协调函数,有常数
和
,且
,则
是自协调函数,且有常数
.
若
是自协调函数,有常数
,且
是
的仿射变换,则
是带有系数
的自协调函数
若
是自协调函数,则它的凸共轭
也是自协调函数[2][3]
如果
是自协调的,且域为
不包含直线(两个方向无穷大),那么
是非奇异的。
反之,如果对于某些
在域
中,且
,则有
,则
对于所有
,此处
在
的域中。则
是线性的并且不能有最大值,所以所有
在
的域中。我们还注意到
其域内不能有最小值。
参考资料[编辑]
- ^ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization (PDF). Cambridge University Press. 2004 [October 15, 2011]. ISBN 978-0-521-83378-3. (原始内容存档 (PDF)于2021-05-09).
- ^ Nesterov, Yurii; Nemirovskii, Arkadii. nterior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming. Studies in Applied and Numerical Mathematics. 1994. ISBN 978-0-89871-319-0. doi:10.1137/1.9781611970791.
- ^ Sun, Tianxiao; Tran-Dinh, Quoc. Generalized Self-Concordant Functions: A Recipe for Newton-Type Methods. Mathematical Programming. 2018: Proposition 6. arXiv:1703.04599
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