在優化理論中,自協調函數(英語:Self-concordant function)是一個函數其中
或者,等價地,一個函數無論何處滿足
並且滿足在其他地方。
更一般地,多元函數是自協調的,如果
或者,等效地,如果它對任意行的限制是協調的[1]。
若和是自協調函數,有常數和,且,則是自協調函數,且有常數.
若是自協調函數,有常數,且是的仿射變換,則是帶有係數的自協調函數
若是自協調函數,則它的凸共軛也是自協調函數[2][3]
如果是自協調的,且域為不包含直線(兩個方向無窮大),那麼是非奇異的。
反之,如果對於某些在域中,且,則有,則對於所有,此處在的域中。則是線性的並且不能有最大值,所以所有在的域中。我們還注意到其域內不能有最小值。
- ^ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization (PDF). Cambridge University Press. 2004 [October 15, 2011]. ISBN 978-0-521-83378-3. (原始內容存檔 (PDF)於2021-05-09).
- ^ Nesterov, Yurii; Nemirovskii, Arkadii. nterior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming. Studies in Applied and Numerical Mathematics. 1994. ISBN 978-0-89871-319-0. doi:10.1137/1.9781611970791.
- ^ Sun, Tianxiao; Tran-Dinh, Quoc. Generalized Self-Concordant Functions: A Recipe for Newton-Type Methods. Mathematical Programming. 2018: Proposition 6. arXiv:1703.04599 .