线性多步法

线性多步法是一种初值问题的常微分方程数值方法。在概念上，初值问题的数位方法是由初值开始，在时间上前进一小段，求解下一个点的数值。重复此步骤，直到要求解的区间都完成为止。

单步法（像欧拉方法）只用前一个点以及其微分来计算目前的值，单步法的龙格-库塔法会用前一个点以及和中间点中间的值来计算目前的值，不过在计算下一个值时，就不考虑之前的资讯。

多步法和单步法的差异是，多步法会考虑以前的资料，以提升效率。因此。多步法会参考之前的数个点以及数点微分值。线性多步法会使用之前的点和微分值的线性组合。

定义

常微分方程的数值方法设法找到以下初值问题的近似解 $$y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.$$

结果是在各离散时间$t_{i}$下，$y(t)$的近似值： $$y_{i}\approx y(t_{i})\quad {\text{where}}\quad t_{i}=t_{0}+ih,$$ 其中$h$是时间步长（有时会表示为$\Delta t$），而$i$是整数。

多步法会用以前$s$步以内的资讯来计算下一个值。而线性多步法会用$y_{i}$和$f(t_{i},y_{i})$的线性组合，来计算$y$。因此，线性多步法可以表示如下 $${\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}\cdot y_{n+s-1}+a_{s-2}\cdot y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}\cdot y_{n}\\&\qquad {}=h\cdot \left(b_{s}\cdot f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}\cdot f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}\cdot f(t_{n},y_{n})\right)\\&\Leftrightarrow \sum _{j=0}^{s}a_{j}y_{n+j}=h\sum _{j=0}^{s}b_{j}f(t_{n+j},y_{n+j}),\end{aligned}}$$ 而$a_{s}=1$。系数$a_{0},\dotsc ,a_{s-1}$和$b_{0},\dotsc ,b_{s}$决定所使用的方法。设计者一方面要找到真实解的理想近似解，另一方面也要设计方便计算的方法。为了简化计算，中许多系数会是0。

可以用系数来区分显式和隐式方法。若$b_{s}=0$，此方法则为显式法，因为可以直接计算$y_{n+s}$。若$b_{s}\neq 0$，则$y_{n+s}$的值和$f(t_{n+s},y_{n+s})$有关，需设法求解方程才能得到$y_{n+s}$, 此方法为隐式法。求解方程时，常会使用迭代法（例如牛顿法）求解。

有时，显式的多步法会用来“预估”$y_{n+s}$的值，之后再用隐式公式中来得到“校正”后的值，这称为预估-校正方法。

例子

考虑以下问题 $$y'=f(t,y)=y,\quad y(0)=1.$$ 其解是$y(t)=e^{t}$。

单步欧拉法

欧拉法是一种简易的单步法： $$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).$$ 可以将欧拉法视为是退化的显式多步法，其步数只有一步。

用此方法，配合步长$h={\tfrac {1}{2}}$求解问题$y'=y$，得到以下的解： $${\begin{aligned}y_{1}&=y_{0}+hf(t_{0},y_{0})=1+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1=1.5,\\y_{2}&=y_{1}+hf(t_{1},y_{1})=1.5+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=2.25,\\y_{3}&=y_{2}+hf(t_{2},y_{2})=2.25+{\tfrac {1}{2}}\cdot 2.25=3.375,\\y_{4}&=y_{3}+hf(t_{3},y_{3})=3.375+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3.375=5.0625.\end{aligned}}$$

二步Adams–Bashforth法

二步的Adams–Bashforth法是简单的多步法 $$y_{n+2}=y_{n+1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n+1},y_{n+1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}).$$ 此方法会用到二个值，$y_{n+1}$和$y_{n}$来计算下一个值$y_{n+2}$。不过，初始问题只会有一个值$y_{0}=1$。一种可能作法是用欧拉法计算$y_{1}$，当作第二个值。在此选择下，Adams–Bashforth法得到结果如下（四舍五入到小数第四位）： $${\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{1},y_{1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{0},y_{0})=1.5+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1=2.375,\\y_{3}&=y_{2}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{2},y_{2})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{1},y_{1})=2.375+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=3.7812,\\y_{4}&=y_{3}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{3},y_{3})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{2},y_{2})=3.7812+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 3.7812-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375=6.0234.\end{aligned}}$$ 在$t=t_{4}=2$的解是$e^{2}=7.3891\ldots$，二步的Adams–Bashforth法比欧拉法准确。一般而言，只要步长够小，二步的Adams–Bashforth法都会比欧拉法准确。

相关条目

• 数位能量增益

参考资料

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外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Adams Method. MathWorld.