單步法

單步法近似初值問題，給定起始值$A_{0}$，可以找到$A_{1}$、$A_{2}$等

数值分析裡的單步法（one-step methods）和多步法（multistep methods）是求解初值問題的數值方法的兩種分類。常微分方程和初值問題在自然科學、工程物理學中都很重要，在經濟學和社会科学中的重要性也慢慢提高。

單步法背後的基本概念是從給定的起點出發，沿著想要的解，一步一步的計算近似解。單步法只使用最近的資訊計算下一個點的資訊，多步法則不同，多步法還會考慮更早的資訊。單步法粗略可以分為兩類：顯式法是直接計算新的近似值，隱式法是將新的近似值和目前已知的資訊形成方程，需求解方程才能知道新的近似值。後者更適用於刚性方程（stiff equation，其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定，只要時間間隔略大，其解就會不穩定）。

最簡單也最古老的單步法，是顯式歐拉法，由萊昂哈德·歐拉在1768年發表。後來，在1883年，出現了許多的多步法。而卡爾·龍格、Karl Heun和馬丁·威廉·庫塔在1900年針對歐拉法進行大幅改進，之後出現了許多龙格-库塔法的算法，也是單步法中最重要的一組算法。二十世紀的發展包括外推的概念、以及考慮步長的控制，也就是在每一步經計算後，選擇下一步的步長。這些概念組成了求解複雜初值問題的基礎，常出現在現有的應用中，利用電腦可以有效率的求解問題，而且可以達到要求的精度。

基本概念

考慮以下初值問題的通式，要找到函數$y$滿足以下的方程

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}$

其中$f$是已知的函數

洛倫茲吸引子微分方程的解，是三維空間中的複雜曲線

若$y'(t)$和$y(t)$等比例，則$y(t)$會指數增長。因此，$y'(t)=\lambda y(t)$，其成長率是$\lambda$，也有初始條件$y(0)=y_{0}$。此時，可以用初等的微積分配合指数函数求得結果：$y(t)=y_{0}e^{\lambda t}$。

微分方程中所要求的函數$y$其值也可以是向量，也就是針對每一個$t$，$y(t)=(y_{1}(t),\dotsc ,y_{d}(t))$是一個$d$個元素的向量。這也是$d$維微分方程的系統。以移動物體為例，$y(t)$是其d維空間中的位置，而$y'(t)$是其時間$t$的速度。因此微分方程標示了物體軌跡上每一點的速度方向和大小。就可以由此計算軌跡。

在上述簡化版的指數成長問題中，可以直接求解。但大多數的微分方程問題更複雜，也無法求得解析解。在特定條件下，可以證明針對函數$f$，其初始值問題的解存在，但無法用分析的解法求解（例如分離變數法、指數法或是變分法），因此需要利用數值方法，找到其近似解。

初值問題的數值方法要在$t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots$各時間，逐步計算待求解函數的值$y(t_{0}),y(t_{1}),y(t_{2}),\dotsc$。單步法在計算$y_{j+1}$近似值時，只需要$y_{j}$的近似值，與其相對的，多步法在計算$y_{j+1}$近似值時，除了$y_{j}$近似值以外，還至少需要$y_{j-1}$，甚至$y_{j-2}$......的值。

顯式歐拉法的前二步

最簡單也最基本的單步法就是顯式歐拉法，是瑞士數學家和物理學家萊昂哈德·歐拉於1768年提出的。此方法的概念是由分段線性函數來近似要求的解，而從點$t_{j+1}$到點$f(t_{j},y_{j})$的斜率是由$t_{j}$時的資訊所決定。更深入的說：問題定義只提供了此函數的初值：$y(t_{0})=y_{0}$，而且，此點的斜率也是已知的，$y'(t_{0})=f(t_{0},y_{0})$。因此，可以確定函數在此點的切線斜率，並以此近似函數在往後時間的特性。在點$t_{1}>t_{0}$，可以得到以下的結果，而步長為$h_{0}:=t_{1}-t_{0}$

$y(t_{1})\approx y_{0}+h_{0}f(t_{0},y_{0})=:y_{1}$.

此作法可以繼續進行。最後，以下計算的結果就是顯式歐拉法

$y_{j+1}=y_{j}+h_{j}f(t_{j},y_{j}),\quad j=0,1,2,\dotsc$

其遞增量$h_{j}=t_{j+1}-t_{j}$.

顯式歐拉法是許多單步法的基礎，其斜率$f(t_{j},y_{j})$由其他近似函數在點$t_{j}$和點$t_{j+1}$之間行為的運算代替。單步法的另一個概念是來自隱式歐拉法，用$f(t_{j+1},y_{j+1})$為斜率。初看會認為這作法不一定合適，因為此時$y_{j+1}$未知，不過，若以此往下計算，就得到以下的方程

$y_{j+1}=y_{j}+h_{j}f(t_{j+1},y_{j+1})$

可以以此求解$y_{j+1}$（若有需要的話，也可以用數值方法求解）。例如用顯式歐拉法和隱式歐拉法的算术平均数作為斜率，這就是隱式梯形法。若等式右側未知的$y_{j+1}$用顯式歐拉法近似，也可以得到另一個顯式法，這稱為Heun方法法。所有方法和擴展都有一步法的基本概念：

$y_{j+1}=y_{j}+h_{j}\Phi$

其斜率$\Phi$是由$t_{j}$ , $y_{j}$ and $h_{j}$以及（針對隱式歐拉法）$y_{j+1}$。

相關條目

• 常微分方程数值方法

文獻

• John C. Butcher, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, Chichester: John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-72335-7 
• Wolfgang Dahmen, Arnold Reusken, Kap. 11: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 2., Berlin/Heidelberg: Springer, 2008, ISBN 978-3-540-76492-2 
• Peter Deuflhard, Folkmar Bornemann, Numerische Mathematik 2 – Gewöhnliche Differentialgleichungen 3., Berlin: Walter de Gruyter, 2008, ISBN 978-3-11-020356-1 
• David F. Griffiths, Desmond J. Higham, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations – Initial Value Problems, London: Springer, 2010, ISBN 978-0-85729-147-9 
• Robert Plato, Kap. 7: Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme, Numerische Mathematik kompakt 4., Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 2010, ISBN 978-3-8348-1018-2 
• Hans-Jürgen Reinhardt, Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 2., Berlin/Boston: Walter de Gruyter, 2012, ISBN 978-3-11-028045-6 
• Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler, Kap. 8: Anfangswertprobleme, Numerische Mathematik 8., Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4 
• Karl Strehmel, Rüdiger Weiner, Helmut Podhaisky, Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 2., Wiesbaden: Springer Spektrum, 2012, ISBN 978-3-8348-1847-8 

外部連結

• Lars Grüne. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations (Numerical Mathematics II) (PDF). 2008 [2018-08-20]. 
• Peter Spellucci. Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen (PDF). 2007 [2018-08-20]. 
• Hans U. Fuchs. Numerical Methods for Differential Equations (PDF). 2007 [2018-08-20] （英语）. 
• Mathe Tutorial: Rechner für allgemeine Differentialgleichungen 1. Ordnung. Mathe Tutorial. [2018-08-20].