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截线定理

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截线定理(英语:Intercept theorem),是平面几何中的基本定理之一。截线定理说明,平面上的一个三角形中,若在其中一条腰的中点作一条直线,与其底边平行,则该线穿过另一条腰的中点。这定理可推广到梯形上,以及一般化至任意分割比例的情况。截线定理与另外两条几何定理中点定理等比定理有密切关系。

定理

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截线定理的最基本形式是在三角形上的应用。

图中有三角形 ,作一条直线 与底边 平行。

截线定理说明,若 ,则

换句话说, 是三角形 中位线

这定理能简单推广到梯形上应用。

图中有梯形 ,其中 。作一条直线 与上底 和下底 平行。

截线定理说明,若 ,则

同样地, 是梯形 的中位线。

一般化定理

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对于平行线将腰分割成任意比例的情形,一般化截线定理则给出,左右两条腰的分割比例相等。

在上图的三角形 中,若 ,则有

同样地,在梯形 ,若 ,则有

证明

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这定理能以相似三角形简单证明。


考虑上图的 。由于

  • (公共角)
  • (平行线的同位角)
  • (平行线的同位角)

所以。(等角)

由此可得 。(相似三角形的对应边)

因此

证毕。


对于梯形的情况,考虑梯形 ,在 上作一直线,与 平行,并与 分别相交于

由定义可知,平行四边形

因此 。(平行四边形的对边)

上面已证明,由 ,可知

代入可得

证毕。

参见

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参考来源

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外部链接

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