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截線定理

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截線定理(英語:Intercept theorem),是平面幾何中的基本定理之一。截線定理說明,平面上的一個三角形中,若在其中一條腰的中點作一條直線,與其底邊平行,則該線穿過另一條腰的中點。這定理可推廣到梯形上,以及一般化至任意分割比例的情況。截線定理與另外兩條幾何定理中點定理等比定理有密切關係。

定理

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截線定理的最基本形式是在三角形上的應用。

圖中有三角形 ,作一條直線 與底邊 平行。

截線定理說明,若 ,則

換句話說, 是三角形 中位線

這定理能簡單推廣到梯形上應用。

圖中有梯形 ,其中 。作一條直線 與上底 和下底 平行。

截線定理說明,若 ,則

同樣地, 是梯形 的中位線。

一般化定理

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對於平行線將腰分割成任意比例的情形,一般化截線定理則給出,左右兩條腰的分割比例相等。

在上圖的三角形 中,若 ,則有

同樣地,在梯形 ,若 ,則有

證明

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這定理能以相似三角形簡單證明。


考慮上圖的 。由於

  • (公共角)
  • (平行線的同位角)
  • (平行線的同位角)

所以。(等角)

由此可得 。(相似三角形的對應邊)

因此

證畢。


對於梯形的情況,考慮梯形 ,在 上作一直線,與 平行,並與 分別相交於

由定義可知,平行四邊形

因此 。(平行四邊形的對邊)

上面已證明,由 ,可知

代入可得

證畢。

參見

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參考來源

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外部連結

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