在数学中,希尔伯特模形式是一类自守形式,对应于全实域
及相应的群
。这可以视作模形式的一种多变元推广。当
时,我们回到模形式的定义。
对于
次全实域
、
为其中的代数整数环、
为相应的实嵌入映射。由此得到嵌入映射
![{\displaystyle \mathrm {GL} (2,F)\to \mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )^{m},\quad g\mapsto (\sigma _{1}(g),\ldots ,\sigma _{m}(g))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f703f33398d6cd7d5a16ebe17f4ae4c9f73051)
设
为上半平面,透过上述嵌入,
(指
中行列式为正的元素)作用于
上。
对
,定义自守因子之值为
![{\displaystyle j(g,z)=(\det g)^{-{\frac {1}{2}}}(cz+d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f1bd692b503e5feef9bd4bbf5f237ff17ec974)
权为
之希尔伯特模形式是指
上满足下述函数方程的全纯函数
![{\displaystyle \forall \gamma \in \mathrm {GL} ^{+}(2,{\mathcal {O}}),\;f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444d310201070647c21e506992210634031cbb3f)
此定义与模形式的差异在于:当
时,不需要另加增长条件,这是 Koecher 定理的一个推论。
- Paul B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
- Eberhard Freitag, Hilbert Modular Forms. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5