在數學中,希爾伯特模形式是一類自守形式,對應於全實域
及相應的群
。這可以視作模形式的一種多變元推廣。當
時,我們回到模形式的定義。
對於
次全實域
、
為其中的代數整數環、
為相應的實嵌入映射。由此得到嵌入映射
![{\displaystyle \mathrm {GL} (2,F)\to \mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )^{m},\quad g\mapsto (\sigma _{1}(g),\ldots ,\sigma _{m}(g))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f703f33398d6cd7d5a16ebe17f4ae4c9f73051)
設
為上半平面,透過上述嵌入,
(指
中行列式為正的元素)作用於
上。
對
,定義自守因子之值為
![{\displaystyle j(g,z)=(\det g)^{-{\frac {1}{2}}}(cz+d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f1bd692b503e5feef9bd4bbf5f237ff17ec974)
權為
之希爾伯特模形式是指
上滿足下述函數方程的全純函數
![{\displaystyle \forall \gamma \in \mathrm {GL} ^{+}(2,{\mathcal {O}}),\;f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444d310201070647c21e506992210634031cbb3f)
此定義與模形式的差異在於:當
時,不需要另加增長條件,這是 Koecher 定理的一個推論。
- Paul B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
- Eberhard Freitag, Hilbert Modular Forms. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5