跳转到内容

实数完备性

本页使用了标题或全文手工转换
维基百科,自由的百科全书

直观上,实数完备性(英语:Completeness of the real numbers)意味着实数轴上(以理查德·戴德金的说法)没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点,有理数在数轴上是有间隙的,即无理数。在十进制计数法下,实数的完备性等价于:实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题,完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后,其余皆为完备性公理的等价定理

等价命题

[编辑]

实数完备性可以用以下任意一个等价定理作为出发点。以下从最小上界定理出发,来证明其他等价命题。

最小上界性

[编辑]

又称为上确界定理(Theorem of Least-Upper-Bound, 简称LUB),也就是

定理 — 集合 ,若 存在 ,使得:

“对所有的 ”(称 的一个上界

则存在 使得:

的一个上界 ”且 “对所有 ,只要 的一个上界,则

也就是说,实数非空子集有上界,则它有最小上界。其证明请参见实数的构造

柯西收敛准则

[编辑]

是实数柯西序列。设 S 为这样一个集合,其中每个实数只大于序列 中的有限个成员。,设 使得 。于是这个序列在区间 里出现无限多次,而且只在它的补集里最多出现有限次。这意味着 S, 因此 S。另外 是 S 的上界。于是通过 LUB 公理,可以设 b 是 S 的最小上界,而且 。由三角不等式,当 n>N 时成立时 。所以

满足柯西收敛准则度量空间称为完备空间,若取函数

可以验证 为一度量空间,这样本节的结果也可以重新叙述为“实数系 最小上界定理等价于 完备空间。”

区间套原理

[编辑]

定理声称对于任一的有界闭区间套In(例如In = [an, bn]并满足anbn),它们的交集In非空,且为闭区间;特别地,假若,则它们的交集J为一个包含且仅包含的单点集。

单调有界定理

[编辑]

如果是一个单调的实数序列(例如单调递增:),则这个序列具有有限极限,当且仅当序列有界。此定理可以由LUB公理证明。

聚点定理

[编辑]

波尔查诺-魏尔施特拉斯定理(英语:Bolzano–Weierstrass theorem)说明,中的一个子集序列紧致(每个序列都有收敛子序列)当且仅当有界闭集。更一般地,这个定理对有限维向量空间亦有效。

参考资料

[编辑]