哈代-李特尔伍德第一猜想

First Hardy–Littlewood conjecture

小于给定的$n$的孪生质数的数量的图。哈代-李特尔伍德第一猜想预测说会有无限多对这样的数。
领域	数论
猜想提出者	G·H·哈代 约翰·恩瑟·李特尔伍德
猜想提出年	1923
开放问题	是

在数论中，哈代-李特尔伍德第一猜想（first Hardy–Littlewood conjecture）指的是对小于给定数的质数k元组的非病态公式，这猜想是对质数定理的推广。这猜想最初由G·H·哈代和约翰·恩瑟·李特尔伍德在1923年提出。

陈述

设$m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}$为一组使得$P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})$不对任何质数构成一个完全剩余系的正整数，并以$\pi _{P}(n)$表示不大于$n$并使得$p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k}$皆为质数的质数$p$的数量，那么有：

$\pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},$

其中

$C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}$

是奇质数的乘积，且此处$w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})$表示$0,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}$除以$q$后，其中不同的余数的个数。

$k=1$且$m_{1}=2$的情况和孪生质数猜想相关，特别地，若以$\pi _{2}(n)$表示不大于$n$的孪生质数个数，那么有

$\pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},$

其中

$C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\right)\approx 1.320323632\ldots$

是孪生质数常数。

斯奎斯数

主条目：质数k元组 § 斯奎斯数

质数k元组的斯奎斯数，是根据哈代-李特尔伍德第一猜想，在质数k元组上对斯奎斯数的定义的推广。质数k元组$P$的斯奎斯数的定义是最小的违反哈代-李特尔伍德的质数$p$，也就是最小的使得下式成立的质数：

$\pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),$

结果

目前已证明说，哈代-李特尔伍德第一猜想和哈代-李特尔伍德第二猜想彼此不相容。

推广

Bateman–Horn猜想是哈代-李特尔伍德第一猜想在次数大于一的多项式上的推广。

参考资料

• Aletheia-Zomlefer, Soren Laing; Fukshansky, Lenny; Garcia, Stephan Ramon. The Bateman–Horn conjecture: Heuristic, history, and applications. Expositiones Mathematicae. 2020, 38 (4): 430–479. ISSN 0723-0869. doi:10.1016/j.exmath.2019.04.005 . 
• Tóth, László. On the Asymptotic Density of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood. Computational Methods in Science and Technology. January 2019, 25 (3): 143–138. arXiv:1910.02636 . doi:10.12921/cmst.2019.0000033.