将20个苹果平均分成四等分(左上),每份有5个苹果(右下),即
;亦可以说成,将20个苹果每5个分成一份(右下),共可分成四等分(左上),此时可以表达为
数学中,尤其是在基本计算里,除法可以看成是“乘法的反运算”,也可以理解为“重复的减法”。除法运算的本质就是“把参与运算的除数变为
,得出同比的被除数的值”。
例如:
,就好像
,
,
被
减了两次后,就变成了
。
如果
![{\displaystyle a\times b=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1272c2667a4b31fc639ab3c998d30fb011f89b2f)
而且
不等于零,那么
![{\displaystyle a=c\div b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4eb0e2c6e0eb7d7af9c7efe787dcd1fe8a625a)
其中,a称为商数,b称为除数,c称为被除数。
如果除式的商数(
)必须是整数,则称为带余除法,
与
相差的数值,称为余数(
)。
![{\displaystyle c\div b=a\dots d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba3e578bd5679ade8b96f5f63eef3a4839b9897)
这也意味着
![{\displaystyle c=a\times b+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1a690534e7213d7a50cf0b6ed4e2829edb1cfc)
在高等数学(包括在科学与工程学中)和计算机编程语言中,
写成
。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用,这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中寻找商数的函数为
,寻找余数的函数则为
。
在大部分的非英语语言中,
代表
的比,读做c比b;
则代表
的比值。用法请参照比例。
整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数
可以被自然数
整除,是指
是
的约数,且a是b的整数倍数,也就是
除以
没有余数。
![{\displaystyle a\div b=q\dots 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0b70c20aa7eb08cf4e4f9be41746670e9daead)
约数判别法可参照整除规则。
表示法[编辑]
表示
整除
,即
是
的倍数,
是
的因数。
可以被
整除,记作
。
不能被
整除(因为余数为
),记作
。在
上加一条斜线即表示不整除。
除法计算[编辑]
根据乘法表,两个整数可以用长除法(直式除法)笔算。如果被除数有分数部分(或者说时小数点),计算时将小数点带下来就可以;如果除数有小数点,将除数与被除数的小数点同时移位,直到除数没有小数点。
算盘也可以做除法运算。
长除法[编辑]
长除法俗称“长除”,适用于正式除法、小数除法、多项式除法(即因式分解)等较重视计算过程和商数的除法,过程中兼用了乘法和减法。
使用长除法计算
的过程可以表示为:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/LongDivisionAnimated.gif)
的演算过程
![{\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d5bab3d34224183477dbd369203fab8aa2365f)
短除法[编辑]
短除法是长除法的简化版本。在短除法里,被除数放中央,旁以一L型符号表示除法,被除数左侧为除数,下侧为商,省去了长除法逐层计算的过程。
- 使用短除法计算
的近似值:
![{\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a1de5a5b289576666cf4dce5b68fa488fa1e016)
- 使用短除法计算
的素因数分解:
![{\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9418ad923521c6d100c9b7b1cd8c021b775dfd18)
![{\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67d0b60dc0003280ac72203d9388523e820c8f0)
- 使用短除法计算
的最大公约数及最小公倍数:
![{\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9667f922fac77f58100d8bbd618b6d0541c241b)
![{\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f985edf332cc4387710c9ac01fbb56c9e63858f4)
和整数之间的带余除法类似,一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明,设有多项式
和非零多项式
,则存在唯一的多项式
和
,满足:
![{\displaystyle A=BQ+R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b37f420a7b68179904a3efce197e58cfb6465cd)
而多项式
若非零多项式,则其幂次严格小于
的幂次。
作为特例,如果要计算某个多项式
除以一次多项式
得到的余多项式,可以直接将
代入到多项式
中。
除以
的余多项式是
。
具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如,计算
除以
,列式如下:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897d1e2f3dae8fa62dc8d7efa9e3eb55e8457664)
因此,商式是
,余式是
。
重要性质[编辑]
通常不定义除以零这种形式。亦即当除以0 或分数的分母为0 时,该式或该数无意义。