格兰迪级数(英语:Grandi's series),即
,是由意大利数学家格兰迪在1703年发表的。后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。格兰迪级数写作:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed1c55a1ac34c32acb7e1c72b2176f8b791448a)
它是一个发散级数,也因此在一般情况下,这个无穷级数是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时,就会有特定的和出现。格兰迪级数的欧拉和和切萨罗和均为
。
格兰迪级数与级数1 − 2 + 3 − 4 + …有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例(其中
为任意自然数),这个级数既直接扩展了他在巴塞尔问题上所做的工作,同时也引出了现在所知的狄利克雷η函数和黎曼ζ函数。
针对以下的格兰迪级数
- 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
一种求和方式是求它的裂项和:
- (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
但若调整括弧的位置,会得到不同的结果:
- 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
用不同的方式为格兰迪级数加上括弧进行求和,其级数和可以得到0或是1的值。
格兰迪级数为发散几何级数,若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数,可以得到第三个数值:
= 1 − 1 + 1 − 1 + …,因此
- 1 −
= 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … =
,即
- 2
= 1,
可得到
=
[1]。
依照上述的计算,可以得到以下的二种结论:
- 格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在[1][2]。
- 格兰迪级数的和为
[2]。
上述二个答案都可以精确的证明,但需要用19世纪提出的一些良好定义的数学概念。从17世纪欧洲开始使用微积分起,一直到现在严谨的数学成型之前,上述二个答案已造成数学家们尖锐及无止尽的争论[3][4]。
求和性[编辑]
稳定性及线性[编辑]
对于格兰迪级数
,看似可以用以下的方式处理,得到数值
:
- 级数内的数两两相加或相减。
- 每一项乘以一个系数。
- 调整括弧顺序。
- 在级数前面增加新的项。
不过因为上述的处理方式只能适用在收敛的级数,而
不是收敛级数,因此上述处理都不适用。
由于各项 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一种简单模式排列,格兰迪级数可以透过移项以及逐项求和,再透过解方程得出一数值。暂时假设
这样的写法有意义——其中的
为常数,那么以下的计算将说明
:
![{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace {1\,-\,1\,-\,1\,+\,1} _{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace {-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1} _{0}\,)\,+\,\cdots ]\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056466ea3bbda58c1f81516bf8ce589c61e22f9c)
因此,
[5]。
再者,有许多的求和方式可以处理发散级数,并且可以对一些发散级数求和;其中相对简单的方法是切萨罗求和[6]。
切萨罗和[编辑]
恩纳斯托‧切萨罗在1890年第一个出版有关对发散级数求和的严谨方法,就是切萨罗和。基本概念类似莱布尼兹的概率法,一个级数的切萨罗和是其所有分项和的平均。也就是针对每个
,计算前
项的和
的平均,当
趋近无限大时的极限值即为切萨罗和。
以格兰迪级数而言,而数列
的各项分别为
,
而
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5feafd0975b01beab34d482371bb29658a402570)
因此,格兰迪级数的切萨罗和为
。
也可以用广义的切萨罗和
来计算[7]。
发散性[编辑]
这个级数的部分和如下:
![{\displaystyle {\begin{cases}S_{1}=1\\S_{2}=1-1=0\\S_{3}=1-1+1=1\\S_{4}=1-1+1-1=0\\\quad \;\,\vdots \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f796816f17f218299f72a03151e5ecca560852)
由此得出另一个无穷序列:
,
根据无穷级数的定义,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37618c02f69e9c010b517ebde3a84a6c83cbab8c)
但是
的无穷序列无法收敛到某个固定值(不断在0和1之间来回变动),所以
发散。
因此
这个级数也发散。
格兰迪级数的应用[编辑]
幂级数[编辑]
以下的幂级数和格兰迪级数有关,也是其母函数:
![{\displaystyle f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da3c373e0b5b22da4037f93a7b531191355f378)
狄拉克梳[编辑]
格兰迪级数在另一个重要的级数中出现:
![{\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ded71af84483938b4e3a3eb936e8effc0c9af2)
若x = π,其上述级数化简为−1 + 1 − 1 + 1 − · · ,欧拉认为其值符合以下的关系式Σ cos kx = −1⁄2,不过达朗贝尔不同意此关系式,而拉格朗日认为这可以用类似欧拉对格兰迪级数的理解来延伸说明[8]。
欧拉的声明推测
![{\displaystyle 1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)=0?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1deadba82b67c2cd8da638b6a1f9998f905799a)
针对所有的x,此级数都发散,不过对于几乎所有的x,切萨罗和均为0。不过在x = 2πn时,其级数发散,而且是狄拉克梳的傅里叶级数。其一般和、切萨罗和及阿贝尔和分别和狄利克雷核、费耶核及泊松核的极限有关[9]。
狄利克雷级数[编辑]
将格兰迪级数各项乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数
![{\displaystyle \eta (z)=1-{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}-{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af070f06c817d67d2fd8685c9477ae960cedfc1)
上述级数只有在实部大于0的复数z才会收敛,若令z = 0,即为格兰迪级数。
不同于几何级数,狄利克雷级数对于1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和没有什么帮助。即使在右半平面上,上述的
也无法用初等函数来表示,也没有直接证据可以证明当z趋近0时,
的极值。
另一方面,若使用其他较强的求和法,则上述的
可定义一个在整个复平面的函数-狄利克雷η函数,而且此函数为解析函数。若z的实部> −1,就可以用切萨罗和进行求和,因此η(0) = 1⁄2。
狄利克雷η函数和另一个著名的狄利克雷级数及函数有关:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\eta (z)&=&\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[1em]&=&\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bdf898b79dd021b9adbcd40469ac6e7ba1329b)
其中ζ为黎曼ζ函数。若将格兰迪级数的和再配合上述公式,可以得到ζ(0) = −1⁄2。参照1 + 1 + 1 + 1 + …。
上述的关系式也可以推得一些更重要的性质。由于黎曼ζ函数可表示为η(z)和(1 − 21−z)相除的结果,二个函数在整个复平面均为解析函数,而后者的零点是在z = 1的简单零点,因此可得ζ(z)为亚纯函数,只在z = 1有一个极点[10]。
物理学[编辑]
格兰迪级数及其衍生的级数常在物理学的各领域中出现,最典型的是量子化的费米子场,其中同时有正的及负的特征值,例如手征口袋模型(chiral bag model)。不过这些级数也出现在玻色子的相关研究中,例如卡西米尔效应。
在光谱非对称性领域也会用到由格兰迪级数衍生的级数,而其求和方式是正规化的一部分,例如ζ函数正规化就是其中的一种。
相关条目[编辑]
参考资料[编辑]
- ^ 1.0 1.1 Devlin, Keith. Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. 1994: 77. ISBN 0-7167-6022-3.
- ^ 2.0 2.1 Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. May 1989: p.152. ISBN 0-486-65973-9.
- ^ Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307. JSTOR 2690371. doi:10.2307/2690371.
- ^ Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover. 1990: p.457 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.
- ^ Hardy (p.6) 结合格兰迪级数
的计算提出了此推导过程。
- ^ Davis pp.152, 153, 157
- ^ Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925: p.131. LCC QA295 .S64.
- ^ Ferraro, Giovanni. Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815. Historia Mathematica. 2005, 34: 62. doi:10.1016/j.hm.2005.08.004.
- ^ Davis pp. 153–159
- ^ Knopp pp. 491–492