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幾乎所有

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數學中，幾乎所有（英語：Almost all）表示「除了極少數可忽略的以外，其他都是」。更準確的說法，若是集合，「集合中幾乎所有的元素」表示「集合中，不考慮在某個可忽略（英语：negligible set）子集內元素的其他元素。」「可忽略」的具體意思則依上下文而定，可能是有限集合、可數集或零测集。

相反的，幾乎沒有（almost no）表示「只有極少數可忽略的是」，「集合中幾乎沒有的元素」表示「集合中，只有在某個可忽略子集內的元素」。

不同數學領域中的意思

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普遍的意思

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數學裡的「幾乎所有」有時會指「无限集合中的元素，只有有限多個不符合，其餘都符合」的情形[1][2]。此用法也會用在哲學上[3]。「幾乎所有」也可以指「不可數集中的元素，只有可數數量的不符合，其餘都符合」的情形[sec 1]。

例如：

量測理論中的意思

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更多信息：幾乎處處
康托尔函数是幾乎處處導數都為零的函數

在探討实数時，有時「幾乎所有」是指「除了在某個零测集以外的所有實數。」[6][7][sec 2]。同様地，若S是某個實數集合，則「幾乎所有在集合S裡的數字」是指「除了在某個零测集以外，集合S的所有實數。」[8]數線可以視為是一維的欧几里得空间。在更廣義的n維空間（n為正整數），其定義則推廣為「除了在某個零测集以外，空間裡的所有點。」[sec 3]或是「除了在某個零测集以外，集合S裡的所有點。」 （此時，S是空間中點的集合）[9]。更廣義的說法，「幾乎所有」在测度理論中有時是指幾乎處處[10][11][sec 4]，或是概率论中的几乎必然[11][sec 5]。

例子：

數論中的意思

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更多信息：漸進幾乎必然

数论中的「幾乎所有正整數」可以指「自然密度為1集合裡的正整數」。也就是說，若A是一個正整數的集合，當n趨近無限大時，小於n，在集合A裡的正整數數量，除以小於n的正整數數量，比值趨近於1，則幾乎所有整數都是在集合A內[16][17][sec 7]。

若再進一步推廣，令S是正整數的無窮集合，例如正的偶數集合或是质数集合，若A是S的子集合，且當n趨近無限大時，若集合A裡小於n的元素數量，除以集合S裡小於n的元素數量，比值趨近於1，則可以說幾乎所有集合S裡的元素都在集合A裡。

例子：

  • 正整數的餘有限集（英语：cofinite set）其自然密度為1，因此每一個餘有限集都包括幾乎所有的正整數。
  • 幾乎所有正整數都是合数[sec 7][proof 1]
  • 幾乎所有正的偶數都可以表示為二個質數的和[4]:489。
  • 幾乎所有質數都不是孪生素数。進一步說，針對每一個正整數g，幾乎所有質數的間隙都大於g，幾乎所有質數和其較大質數以及較小質數的間隔都都大於g，也就是說，在p − g和p + g之間沒有其他的質數[18]。

拓撲學中的意思

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在topology[19]，特別是动力系统理论中[20][21][22]（包括經濟學的應用）[23] ，拓扑空间內幾乎所有的點可以指「除了在某個貧乏集（英语：meagre set）以外，所有此空間內的點。」有些則用更限定的定義，子集包括空間內幾乎所有的點，若這個子集包括某個开集的稠密集[21][24][25]。

例子：

代數中的意思

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在抽象代数和数理逻辑中，若U是集合X的超滤子，「集合X內幾乎所有元素」有時是指「U的部份元素內的元素」[26][27][28][29]。針對任何將X分為二個不交集的集合划分，其中一個不交集包括X裡幾乎所有的元素。[29]

證明

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  1. ^ 質數定理指出小於等於n的質數個數漸近等於n/ln(n)。因此，質數比例大約是ln(n)/n，隨著n趨近於无穷大，質數比例會趨近於0，而合數比例會趨近於1[17]

相關條目

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參考資料

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一次文獻

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  2. ^ Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc. Chapter 4: What's New About Integer-Valued Polynomials on a Subset?. Hazewinkel, Michiel (编). Non-Noetherian Commutative Ring Theory. Mathematics and Its Applications 520. Springer. 7 December 2010: 85 [First published 2000]. ISBN 978-1-4419-4835-9. doi:10.1007/978-1-4757-3180-4. 
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二次文獻

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外部連結

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