无穷级数
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![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d3b3177dde333e5442a7d132a37b31b00f4856)
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无穷级数
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蓝色曲线是指数函数,红色曲线是指数函数的麦克劳林展开的前n+1项和的曲线
在数学中,幂级数(power series)是一类形式简单而应用广泛的函数级数,变量可以是一个或多个(见“多元幂级数”一节)。单变量的幂级数形式为:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46552207b7e901f25b435998db859fca77057a37)
![{\displaystyle =a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f671acc3de90c24ca545541a26b61844812ad88c)
其中的c和
是常数。
称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数,幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式,在很多方面有类似的性质,可以被看成是“无穷次的多项式”。
如果把
看成一项,那么幂级数可以化简为
的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。
将一个函数写成幂级数
的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。
幂级数是分析学研究的重点之一,然而在组合数学中,幂级数也占有一席之地。作为母函数,由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源[1]。在电子工程学中,幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种,只不过这里的x被固定为
。在p-进数中则可以见到x被固定为
的幂级数。
多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数,例如多项式
可以写成标准形式的幂级数:
![{\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ea494a60ad709371adcda3af0a9fb7668f83f4)
也可以写成(
):
![{\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1806ddeeab4291286ad31b196476c2878eec331d)
实际上,多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说,幂级数是多项式的推广。
等比级数的公式给出了对
,有
,是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开:
![{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed65a70c3c13bbc41efbe50fe0ad9e69c69ddc1a)
以及正弦函数(对所有实数x成立):
![{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec44696a78ce7ee9452c79d4ca254164e7e21f4)
这些幂级数都属于泰勒级数。
幂级数里不包括负的幂次。例如
就不是幂级数(它是一个洛朗级数)。同样的,幂次为分数的级数也不是幂级数。系数
必须是和x无关,比如
就不是一个幂级数。
敛散性[编辑]
作为级数的一种,幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数,当变量x在复数中变化时,幂级数可能收敛,也可能发散。作为判断的依据,有:
- 阿贝尔引理:给定一个幂级数
,如果对实数
,数列
有界,那么对任意复数
,
绝对收敛。
按照引理,使得幂级数
收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆(不包括边界),称为收敛圆盘,其边界称为收敛圆。具体来说,就是:
- 要么对所有的非零复数,
都发散;
- 要么存在一个正常数(包括正无穷)
,使得当
时,
绝对收敛,当
时,
发散。
这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数
被称为幂级数的收敛半径,当属于第一种情况时,规定收敛半径为零。
按照定义,对一个幂级数
,当
(在收敛圆盘内)时(如果有的话),幂级数必然收敛;而当
时(如果有的话),幂级数必然发散。但是如果
(在收敛圆上)的话,这时幂级数的敛散性是无从判断的,只能具体分析。
根据达朗贝尔审敛法,收敛半径
满足:如果幂级数
满足
,则:
是正实数时, 。
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时, 。
|
时, 。
|
根据根值审敛法,则有柯西-阿达马公式:
![{\displaystyle R=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3a25cb6e8a391782ee5c162d01d5ae5ef3e843)
- 或者
。
幂级数的运算[编辑]
形式上,幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。
![{\displaystyle (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots )\pm (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}+\cdots )=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed64d72f720d7d59a0086ddc63c06aac60b2edc)
两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积:
![{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f21efeb7db5b2bacfe6f36a980b61ce3ec2174)
![{\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384d842083bb90d68421ba393ddb2afa26c68a52)
。
各种运算后,得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。
一致收敛性[编辑]
对一个收敛半径为R的幂级数
,可以证明,幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此,考虑幂级数函数
![{\displaystyle f:(-R,R)\longrightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbf85ecd05be7eb01f3af73e98a8cd99e4f8b76)
![{\displaystyle .\ \ \ \ \ \ x\longmapsto \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711f8f7a8ff1bed86dc9b22d24bdecb00822614c)
它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。
幂级数函数的求导和积分[编辑]
可以证明,幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导,并且可积。此外,由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛,可以进行逐项求导和积分,而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于
的收敛半径R。具体形式为:
![{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}nx^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01b6a4d1ab2721cf4bd05633198c91072fab2fe)
![{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bec51461e2683734f79ae05d2dec874e35d3fca)
函数的幂级数展开[编辑]
鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究,如能将要研究的函数以幂级数形式来表示,将有助于对其性质的研究。然而,不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点c附近可展(可以展开为幂级数),当且仅当存在正实数R>0,使得在复平面中以c为圆心以R为半径的圆D(c,R)内(不包括边界)有:
![{\displaystyle \forall z\in D(c,R),\qquad f(z)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}a_{n}(z-c)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f40a8e5cd7094154c839285d1b245d59a844687)
其中
为确定的常数。
如果一个函数在某处可展,那么它在这点无穷可导(
),并且在这点附近的展开式是唯一的。
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}={f^{(n)}(c) \over {n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db8b6ecff6ec41769256f8a923681cafca3c7c7)
即是在这点的泰勒展开的第n项的值。这时展开得到的幂级数称为函数f在c点的泰勒级数。
函数的可展性[编辑]
对于一般的无穷可导函数
,也可以写出幂级数
,但即使这个幂级数收敛,其值也不一定等于
。例如函数
:
- 当x>0时,
![{\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19dffe755542d56d94d0c05a9ca442345c324a2)
- 当
时,![{\displaystyle f(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf85883d74b75fe35ca8d3f2b44802df078e4fa1)
可以证明
无穷可导,并且在0处的每阶导数都是零,因此相应的幂级数
恒等于0,不等于
。
函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零:
,
一个更常用到的充分条件是:
如果存在正实数r,使得
在区间
上无穷可导,并且存在正数M使得对任意的n,任意的
都有
,那么
可以在c附近展开成幂级数:
。
常见函数的幂级数展开[编辑]
以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\sin x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209d4cdc7a70835b7d2f2e862f61a36e3ffde953)
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {ch} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cee46699677bc3e3ef8f274a10bc479086dd2a4)
,特别地,
。
![{\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\arcsin \,x=x+\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f113e4b10f05e67c83117eb047a15f9880a0c9)
![{\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {arsinh} \,x=x+\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,(-1)^{n}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4edf38aa8d9eb78f2c732019201ffaea3a8e06)
,其中![{\displaystyle \forall p>1,\,\zeta (p)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,{\frac {1}{n^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ab48ee48cdf59aa50c1b68c4f278e5cc413200)
幂级数与解析函数[编辑]
局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与复解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数,并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理,解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中,所有的全纯函数(即复可微函数)都是无穷可微函数,并是复解析函数,这在实分析中则不然。
形式幂级数[编辑]
在抽象代数中,幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要,敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处,例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。
多元幂级数[编辑]
幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数:
![{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d39fcfaf7da4164828fd1b2b28ad32a4ed68136)
其中j = (j1, ..., jn)是一个系数为非负整数的向量。系数a(j1,...,jn)通常是实数或复数。c = (c1, ..., cn)和变量x = (x1, ..., xn)是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中,则有
![{\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdbf769c672ac2280238227c65c8b049a00843c)
参考来源[编辑]
- ^ 史济怀,组合恒等式,中国科学技术大学出版社,2001
参考文献[编辑]
- 幂级数介绍
- 幂级数展开 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 幂级数与泰勒展开[永久失效链接]
- Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes
- Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal
- John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering,第5版, 2006