無窮級數
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![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d3b3177dde333e5442a7d132a37b31b00f4856)
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無窮級數
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藍色曲線是指數函數,紅色曲線是指數函數的麥克勞林展開的前n+1項和的曲線
在數學中,冪級數(power series)是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數,變量可以是一個或多個(見「多元冪級數」一節)。單變量的冪級數形式為:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46552207b7e901f25b435998db859fca77057a37)
![{\displaystyle =a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f671acc3de90c24ca545541a26b61844812ad88c)
其中的c和
是常數。
稱為冪級數的係數。冪級數中的每一項都是一個冪函數,冪次為非負整數。冪級數的形式很像多項式,在很多方面有類似的性質,可以被看成是「無窮次的多項式」。
如果把
看成一項,那麼冪級數可以化簡為
的形式。後者被稱為冪級數的標準形式。一個標準形式的冪級數完全由它的係數來決定。
將一個函數寫成冪級數
的形式稱為將函數在c處展開成冪級數。不是每個函數都可以展開成冪級數。
冪級數是分析學研究的重點之一,然而在組合數學中,冪級數也佔有一席之地。作為母函數,由冪級數概念發展出來的形式冪級數是許多組合恆等式的來源[1]。在電子工程學中,冪級數則被稱為Z-變換。實數的小數記法也可以被看做冪級數的一種,只不過這裏的x被固定為
。在p-進數中則可以見到x被固定為
的冪級數。
多項式可以看做係數從某一項開始全是零的冪級數,例如多項式
可以寫成標準形式的冪級數:
![{\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ea494a60ad709371adcda3af0a9fb7668f83f4)
也可以寫成(
):
![{\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1806ddeeab4291286ad31b196476c2878eec331d)
實際上,多項式可以寫成在任意c附近展開的冪級數。就這個意義上說,冪級數是多項式的推廣。
等比級數的公式給出了對
,有
,是冪級數中基本而又重要的一類。同樣重要的還有指數的冪級數展開:
![{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed65a70c3c13bbc41efbe50fe0ad9e69c69ddc1a)
以及正弦函數(對所有實數x成立):
![{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec44696a78ce7ee9452c79d4ca254164e7e21f4)
這些冪級數都屬於泰勒級數。
冪級數里不包括負的冪次。例如
就不是冪級數(它是一個洛朗級數)。同樣的,冪次為分數的級數也不是冪級數。係數
必須是和x無關,比如
就不是一個冪級數。
斂散性[編輯]
作為級數的一種,冪級數的斂散性也是研究冪級數的重點之一。對同一個冪級數,當變量x在複數中變化時,冪級數可能收斂,也可能發散。作為判斷的依據,有:
- 阿貝爾引理:給定一個冪級數
,如果對實數
,數列
有界,那麼對任意複數
,
絕對收斂。
按照引理,使得冪級數
收斂的複數的集合總是某個以原點為中心的圓(不包括邊界),稱為收斂圓盤,其邊界稱為收斂圓。具體來說,就是:
- 要麼對所有的非零複數,
都發散;
- 要麼存在一個正常數(包括正無窮)
,使得當
時,
絕對收斂,當
時,
發散。
這個可以用來辨別冪級數是否收斂的常數
被稱為冪級數的收斂半徑,當屬於第一種情況時,規定收斂半徑為零。
按照定義,對一個冪級數
,當
(在收斂圓盤內)時(如果有的話),冪級數必然收斂;而當
時(如果有的話),冪級數必然發散。但是如果
(在收斂圓上)的話,這時冪級數的斂散性是無從判斷的,只能具體分析。
根據達朗貝爾審斂法,收斂半徑
滿足:如果冪級數
滿足
,則:
是正實數時, 。
|
時, 。
|
時, 。
|
根據根值審斂法,則有柯西-阿達馬公式:
![{\displaystyle R=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3a25cb6e8a391782ee5c162d01d5ae5ef3e843)
- 或者
。
冪級數的運算[編輯]
形式上,冪級數的加減法運算是將相應係數進行加減。
![{\displaystyle (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots )\pm (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}+\cdots )=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed64d72f720d7d59a0086ddc63c06aac60b2edc)
兩個冪級數的乘積基於所謂的柯西乘積:
![{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f21efeb7db5b2bacfe6f36a980b61ce3ec2174)
![{\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384d842083bb90d68421ba393ddb2afa26c68a52)
。
各種運算後,得到的冪級數的收斂半徑是兩個冪級數中的較小者。
一致收斂性[編輯]
對一個收斂半徑為R的冪級數
,可以證明,冪級數在收斂圓盤上一致收斂。這個性質稱為內閉一致收斂。因此,考慮冪級數函數
![{\displaystyle f:(-R,R)\longrightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbf85ecd05be7eb01f3af73e98a8cd99e4f8b76)
![{\displaystyle .\ \ \ \ \ \ x\longmapsto \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711f8f7a8ff1bed86dc9b22d24bdecb00822614c)
它在收斂區間(-R,R)上是連續函數。
冪級數函數的求導和積分[編輯]
可以證明,冪級數函數f在收斂區間上無窮次可導,並且可積。此外,由於冪級數函數f在收斂圓盤內一致收斂,可以進行逐項求導和積分,而且其導函數和積分函數都是在收斂區間上連續的冪級數函數。它們的收斂半徑等於
的收斂半徑R。具體形式為:
![{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}nx^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01b6a4d1ab2721cf4bd05633198c91072fab2fe)
![{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bec51461e2683734f79ae05d2dec874e35d3fca)
函數的冪級數展開[編輯]
鑑於冪級數函數的良好分析性質以及對之深入的研究,如能將要研究的函數以冪級數形式來表示,將有助於對其性質的研究。然而,不是所有的函數都能展開為冪級數。一個函數在一點c附近可展(可以展開為冪級數),若且唯若存在正實數R>0,使得在複平面中以c為圓心以R為半徑的圓D(c,R)內(不包括邊界)有:
![{\displaystyle \forall z\in D(c,R),\qquad f(z)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}a_{n}(z-c)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f40a8e5cd7094154c839285d1b245d59a844687)
其中
為確定的常數。
如果一個函數在某處可展,那麼它在這點無窮可導(
),並且在這點附近的展開式是唯一的。
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}={f^{(n)}(c) \over {n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db8b6ecff6ec41769256f8a923681cafca3c7c7)
即是在這點的泰勒展開的第n項的值。這時展開得到的冪級數稱為函數f在c點的泰勒級數。
函數的可展性[編輯]
對於一般的無窮可導函數
,也可以寫出冪級數
,但即使這個冪級數收斂,其值也不一定等於
。例如函數
:
- 當x>0時,
![{\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19dffe755542d56d94d0c05a9ca442345c324a2)
- 當
時,![{\displaystyle f(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf85883d74b75fe35ca8d3f2b44802df078e4fa1)
可以證明
無窮可導,並且在0處的每階導數都是零,因此相應的冪級數
恆等於0,不等於
。
函數可以展開成冪級數的充要條件是其泰勒展開的餘項趨於零:
,
一個更常用到的充分條件是:
如果存在正實數r,使得
在區間
上無窮可導,並且存在正數M使得對任意的n,任意的
都有
,那麼
可以在c附近展開成冪級數:
。
常見函數的冪級數展開[編輯]
以下是一些常見函數的冪級數展開。運用這些展開可以得到一些重要的恆等式。
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\sin x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209d4cdc7a70835b7d2f2e862f61a36e3ffde953)
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {ch} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cee46699677bc3e3ef8f274a10bc479086dd2a4)
,特別地,
。
![{\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\arcsin \,x=x+\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f113e4b10f05e67c83117eb047a15f9880a0c9)
![{\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {arsinh} \,x=x+\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,(-1)^{n}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4edf38aa8d9eb78f2c732019201ffaea3a8e06)
,其中![{\displaystyle \forall p>1,\,\zeta (p)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,{\frac {1}{n^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ab48ee48cdf59aa50c1b68c4f278e5cc413200)
冪級數與解析函數[編輯]
局部上由收斂冪級數給出的函數叫做解析函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數。所有的冪級數函數在其收斂圓盤內都是解析函數,並且在所有點上都可展。根據零點孤立原理,解析函數的零點必然是孤立點。在複分析中,所有的全純函數(即複可微函數)都是無窮可微函數,並是復解析函數,這在實分析中則不然。
形式冪級數[編輯]
在抽象代數中,冪級數研究的重點是其作為一個半環的代數性質。冪級數的係數域是實數或複數或其它的域不再重要,斂散性也不再討論。這樣抽離出的代數概念被稱為形式冪級數。形式冪級數在組合代數有重要用處,例如作為母函數而運用在許多組合恆等式的推導中。
多元冪級數[編輯]
冪級數概念在多元微積分學中的一個推廣是多元冪級數:
![{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d39fcfaf7da4164828fd1b2b28ad32a4ed68136)
其中j = (j1, ..., jn)是一個係數為非負整數的向量。係數a(j1,...,jn)通常是實數或複數。c = (c1, ..., cn)和變量x = (x1, ..., xn)是實數或複數係數的向量。在多重下標的表示法中,則有
![{\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdbf769c672ac2280238227c65c8b049a00843c)
參考來源[編輯]
- ^ 史濟懷,組合恆等式,中國科學技術大學出版社,2001
參考文獻[編輯]
- 冪級數介紹
- 冪級數展開 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- 冪級數與泰勒展開[永久失效連結]
- Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes
- Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal
- John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering,第5版, 2006