在物理學中 ,特別是在場論和粒子物理學中,Proca作用量描述了Minkowski時空中質量為m且有質量、自旋 均為1 的量子場論。相應的方程是一個稱為Proca方程的相對論性波動方程 。 [1] Proca作用量和方程以羅馬尼亞物理學家Alexandru Proca命名。
在標準模型中Proca方程用來描述三個 向量玻色子,即W±,Z0玻色子。
本文使用的是 四維向量語言裏的(+---) 指標記號 和 張量索引符號 。
拉格朗日密度[編輯]
該場中包含一個複合的電磁四矢勢
,
是一類廣義電勢,
是一個廣義 磁矢勢,在該場中
變換與一個復四向量相同。
用 拉格朗日密度 給出:[2]
![{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9058119e11bee44472a2a5516ad03c98159c7823)
其中
是 光速,
是 普朗克常數 以及
是 四維梯度.
方程式[編輯]
這樣的歐拉-拉格朗日方程 又被稱為 Proca方程:
![{\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cf5c6f859bd27312d7c328204ead0127db0748)
如果應用廣義洛倫茨規範
![{\displaystyle \partial _{\mu }B^{\mu }=0\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4b1cfe63aaea1f3540e4ac5ae0ab717e9b5cb4)
則上式又可以寫為[3]
![{\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7c499bc518392bd0c6dd0229a25c281042fca1)
當
, 這個方程可以退化到無電流無電荷的 麥克斯韋方程組。Proca方程與克萊因-戈爾登方程密切相關,因為它們都是關於空間和時間的二階偏微分方程的。
用向量分析的符號給出,該公式是:
![{\displaystyle \Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3da25091d5d6017b8e64bcc6e9ab47b3e035043)
![{\displaystyle \Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e1c404e3f695bfae466e2910af4723307029a3)
即是 達朗貝爾算符
Proca作用量可以通過在Stuecklberg作用量中引入 希格斯機制 後通過規範變換得到。可以使用第二類約束條件得到量子化的Proca作用量。
電磁場的Proca作用量在
時不具有規範不變性
![{\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }-\partial ^{\mu }f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309e076d4cdeaa9ec596634d834f5a2b2d60c495)
這裏的
是一個任意函數。
參考資料[編輯]
- ^ Particle Physics (2nd Edition), B.R. Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008,
- ^ W. Greiner, "Relativistic quantum mechanics", Springer, p. 359, ISBN 3-540-67457-8
- ^ McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
其他參考資料[編輯]