在數學的分支概率論和算子代數中,非交換概率空間是對經典概率空間、尤其是經典概率論的隨機變量代數表述的推廣。一般的非交換概率空間也稱代數非交換概率空間[1],其定義為一個有單位元的代數
,其上配備有一個保單位元的線性泛函
。
中元素可視為是非交換版本的隨機變量,而
則計算各隨機變量的期望。出於各種實際目的,代數非交換概率空間定義中的要求往往需要加強,從而引出§ 非交換*-概率空間等概念。
非交換概率空間是非交換概率論的基本數學結構,非交換概率論可應用在譜理論、隨機矩陣和量子力學中。[2]
隨機變量代數與期望[編輯]
測度論表述中的概率論是基於所謂概率空間
,即一個總測度為一的(正)測度空間。所謂隨機變量即是其上的實值可測函數,而隨機變量的期望則是其勒貝格積分。
現在考慮全體本質有界的隨機變量,它們構成了一個
上的代數,這裏簡單記作
。在這個代數上,期望映射
是唯一能滿足
且給出單調收斂性質的線性映射,其中
表示
的指示函數。反過來,若具有單調收斂性質的非負線性映射
滿足
(其中
是值為一的常函數,即
上的乘法單位元),則可用
一式唯一地定義一個概率測度。在這個意義上,隨機變量代數的期望映射和概率空間的概率測度是一一對應的。藉助單調類定理,還可建立在單調收斂下封閉的
上的有界函數代數與
的一一對應。[3]
對事件空間地位的降低,以及對代數性質的強調,使得概率論可以有較明顯的推廣方案,來兼容非交換的隨機變量。
量子概率與*-代數[編輯]
分析性質[編輯]
非交換概率空間[編輯]
是一代數非交換概率空間,若
是
上的一個有單位元
的代數,
是
上一個滿足
的線性泛函。一些作者也考慮代數無單位元的情況[4]。
非交換*-概率空間[編輯]
是一非交換*-概率空間,若
是一個代數非交換概率空間,且滿足:
是一個*-代數;
是一個正映射,也就是說
中的正元總是被映為非負實數,或者等價地說![{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \phi (a^{*}a)\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce2364de2688343c650225cfb39d1aa43a44375)
這個條件結合
意味着
是一個態。
非交換C*-概率空間[編輯]
是一非交換C*-概率空間,若
是一個非交換*-概率空間,且滿足:
是一個C*-代數;
- 態
是非退化的,也就是說 ![{\displaystyle \|a\|_{\infty }=0\implies a=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288644f99f7e648ffac5f97bfb07e321baaa3b0d)
上面的
是一個
誘導的半範數,定義為
![{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \|a\|_{\infty }=\sup\{\|ax\|_{2}|x\in {\mathcal {A}}\land \|x\|_{2}\leq 1\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cf81f150792e7e4b5ce7b424be0e356925005f)
形式上它類似於左乘映射
![{\displaystyle x\mapsto ax}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca6dfd2089f8884a4cdef73f987cb757062b7a2)
的
算子範數。一些作者不要求
![{\displaystyle \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
為非退化的,因為總是可
商去滿足
![{\displaystyle \|a\|_{\infty }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7280c94a9037f3f71b2af6f49edc4204cdf62b9)
的元素所構成的
*-理想使其成為非退化的
[5]。
非交換W*-概率空間[編輯]
是一非交換W*-概率空間,若
是一個非交換C*-概率空間,且滿足:
是一個W*-代數;
- 態
是正規的。或者等價地說,
是超弱連續的。
值得一提的是,即便在非交換概率空間的定義中解除對有單位元的要求,如此定義的非交換W*-概率空間也必然有單位元。
參考文獻[編輯]
文內引注[編輯]