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超黃金比例

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超黃金比例
超黃金比例
數表無理數
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命名
名稱超黃金分割比
超黃金分割率
識別
種類無理數
符號
位數數列編號OEISA092526
性質
連分數[1; 2, 6, 1, 3, 5, 4, 22, 1, 1, 4, 1, 2, 84, 1, …]
以此為的多項式或函數
表示方式
1.46557...
代數形式
二進制1.011101110010111110101101
十進制1.465571231876768026656731
十六進制1.772FAD1EDE80B462113642B4

數學中,超黃金比例又稱超黃金分割率是指比值

的比例。這個值是一元三次方程的唯一一個實數,一般以希臘字母(psi)表示。其亦可以由雙曲餘弦表達:

其在十進制中的近似值約為1.465571231876768026656731OEIS數列A092526)。其倒數為:

0.6823 2780 3828 0193 2736 9483 7397 …(OEIS數列A263719

此外,超黃金比例是第四小的皮索特數[1]

超黃金數列

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超黃金數列又稱為娜里亞納牛隻英語Narayana's cows數列,是連續項之間的比率趨近於超黃金比例的數列。[2]這個數列每一項都是前一項和前三項的和,前幾項為11123469131928416088129189277406595、 872……[2][3]OEIS數列A000930)。

性質

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若一三角形邊長為超黃金比例、超黃金比例的倒數和一,則邊長為超黃金比例的對角為120度

超黃金比例的部分性質與黃金比例相關。例如超黃金數列(娜里亞納數列)第n項的值表示用1×1和1×3的方塊鋪滿1×n矩形的方法數[4][註 1],而斐波那契數列第n項的值則是表示用1×1和1×2的方塊鋪滿1×n矩形的方法數[5][註 2]。超黃金比例滿足ψ−1 = ψ−2,而黃金比例則是滿足φ−1 = φ−1。在費波那契兔子問題中,每對兔子可以在出生後的第二個週期開始每個週期都繁殖一次;而在娜里亞納牛隻問題英語Narayana's cows中,每對牛隻可以在出生後的第三個週期開始每個週期都繁殖一次[2]。此外,邊長比為超黃金比例的矩形(下稱超黃金矩形)具有這樣的特性:如果從超黃金矩形的一側移除一個正方形,剩餘的部分可以分割成一大一小方向不同的超黃金矩形。[2]

另一個例子是,黃金比例和超黃金比例都是皮索特數。超黃金比例的代數共軛英語Algebraic conjugate,絕對值為,與的根乘積為1。

超黃金矩形

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此圖顯示了超黃金矩形內的長度為超黃金比例冪遞減的模式,每個更小的超黃金矩形彼此與直角相交的模式出現

超黃金矩形是邊長比為超黃金比例ψ=的矩形。當從超黃金矩形的短側移除一個正方形,剩餘的矩形邊長比將變為ψ2:1。這個矩形可以分割成邊長比為ψ:1和1:ψ的兩個矩形,這兩個矩形為方向差90度的兩個超黃金矩形,[2]面積比為ψ2:1。[3]此外,若將分開兩超黃金矩形的線延伸至穿過原始矩形的其餘部分以及從原始矩形移除正方形的邊來將原始矩形分成4個象限,則分割後面積較大的超黃金矩形與對角象限的矩形面積相同,[6]其對角線長為原始矩形的短邊長除以的值。第四象限也是超黃金矩形,其對角線長為原始矩形短邊的倍。[3]

參見

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註釋

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  1. ^ 這是有考慮順序的情況。如果不考慮順序的情況,則有種可能的方式。
  2. ^ 這是有考慮順序的情況。如果不考慮順序的情況,則有種可能的方式。

參考文獻

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  1. ^ OEIS-A092526. oeis.org. The OEIS Foundation Inc: A092526. 2004-04-07 [2019-02-15]. (原始內容存檔於2022-07-16) (英語). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Crilly, Tony. Chapter 11–12. Mansfield, Keith (編). 50 mathematical ideas you really need to know. Illustrated by Tony Crilly and Patrick Nugent; proofread by Anna Faherty 13th. London: Quercus. 2007: 47–51. ISBN 978-1-84724-147-4 (英語). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Koshy, Thomas. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications 2. John Wiley & Sons. 2017 [2018-08-14]. ISBN 9781118742174. (原始內容存檔於2022-07-18) (英語). 
  4. ^ Sloane, Neil. A000930 - OEIS. oeis.org. The OEIS Foundation Inc: A000930. 2012-09-07 [2018-08-12]. (原始內容存檔於2022-07-10) (英語). 
  5. ^ Sloane, Neil. A000045 - OEIS. oeis.org. The OEIS Foundation Inc: A000045. 2012-09-07 [2018-08-12]. (原始內容存檔於2016-06-16) (英語). 
  6. ^ Crilly, Tony. A Supergolden Rectangle. The Mathematical Gazette英語The Mathematical Gazette. 1994, 78 (483): 320–325. JSTOR 3620208. doi:10.2307/3620208.