泰勒斯定理

泰勒斯定理：如果$AC$是直徑，那麼$\angle ABC$是直角。

泰勒斯定理（英語：Thales' theorem）以古希臘思想家、科學家、哲學家泰勒斯的名字命名，其內容為：若$A$, $B$, $C$是圓周上的三點，且$AC$是該圓的直徑，那麼$\angle ABC$必然為直角。或者說，直徑所對的圓周角是直角。該定理在歐幾里得《幾何原本》第三卷中被提到並證明。

泰勒斯定理的逆定理同樣成立，即：直角三角形中，直角的頂點在以斜邊為直徑的圓上。

證明

證法一

以下證明主要使用兩個定理：

• 三角形的內角和等於180°
• 等腰三角形的兩個底角相等

• 
  泰勒斯定理的動態演示圖。
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  證明圖。

設$O$為圓心，因為$OA=OB=OC$，所以$\bigtriangleup OAB$和$\bigtriangleup OBC$都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等，故有$\angle OBC=\angle OCB$，且$\angle BAO=\angle ABO$。設$\alpha =\angle BAO$，$\beta =\angle OBC$。在$\bigtriangleup ABC$中，因為三角形的內角和等於180°，所以有

$\alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }$

${2}\alpha +{2}\beta =180^{\circ }$

${2}(\alpha +\beta )=180^{\circ }$

$\therefore \angle ABC=\alpha +\beta =90^{\circ }.$

證法二

泰勒斯定理也可以用三角學方法證明，證明如下：

令$O=(0,0)$, $A=(-1,0)$, $C=(1,0)$。此時，$B$就是單位圓$(\cos \theta ,\sin \theta )$上的一點。我們將通過證明$AB$與$BC$垂直，即它們的斜率之積等於–1，來證明這個定理。計算$AB$和$BC$的斜率：

$m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}$

$m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}$

並證明它們的積等於–1:

${\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\=&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\=&-1\end{aligned}}$

注意以上證明過程中運用了畢達哥拉斯三角恆等式$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$。

逆定理的證明

此證明使用兩線的向量形成直角三角形，若且唯若其內積為零。設有直角三角形$ABC$，和以$AC$為直徑的圓$O$。設$O$在原點，以方便計算。則$AB$和$BC$的內積為：

$(A-B)\cdot (B-C)=(A-B)\cdot (B+A)=|A|^{2}-|B|^{2}=0$

$|A|=|B|$

故$A$和$B$與圓心等距，即$B$在圓上。

一般化以及有關定理

泰勒斯定理是「同弧所對的圓周角是圓心角的一半」的一個特殊情況。

以下是泰勒斯定理的一個相關定理：

如果$AC$是一個圓的直徑，則：

• 若$B$在圓內，則$\angle ABC>90^{\circ }$
• 若$B$在圓上，則$\angle ABC=90^{\circ }$
• 若$B$在圓外，則$\angle ABC<90^{\circ }$

歷史

泰勒斯並非此定理的首名發現者，古埃及人和巴比倫人一定已知這特性，可是他們沒有給出證明。