泰勒斯定理

泰勒斯定理：如果$AC$是直径，那么$\angle ABC$是直角。

泰勒斯定理（英语：Thales' theorem）以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名，其内容为：若$A$, $B$, $C$是圆周上的三点，且$AC$是该圆的直径，那么$\angle ABC$必然为直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明。

泰勒斯定理的逆定理同样成立，即：直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

证明

证法一

以下证明主要使用两个定理：

• 三角形的内角和等于180°
• 等腰三角形的两个底角相等

• 
  泰勒斯定理的动态演示图。
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  证明图。

设$O$为圆心，因为$OA=OB=OC$，所以$\bigtriangleup OAB$和$\bigtriangleup OBC$都是等腰三角形。因为等腰三角形底角相等，故有$\angle OBC=\angle OCB$，且$\angle BAO=\angle ABO$。设$\alpha =\angle BAO$，$\beta =\angle OBC$。在$\bigtriangleup ABC$中，因为三角形的内角和等于180°，所以有

$\alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }$

${2}\alpha +{2}\beta =180^{\circ }$

${2}(\alpha +\beta )=180^{\circ }$

$\therefore \angle ABC=\alpha +\beta =90^{\circ }.$

证法二

泰勒斯定理也可以用三角学方法证明，证明如下：

令$O=(0,0)$, $A=(-1,0)$, $C=(1,0)$。此时，$B$就是单位圆$(\cos \theta ,\sin \theta )$上的一点。我们将通过证明$AB$与$BC$垂直，即它们的斜率之积等于–1，来证明这个定理。计算$AB$和$BC$的斜率：

$m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}$

$m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}$

并证明它们的积等于–1:

${\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\=&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\=&-1\end{aligned}}$

注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$。

逆定理的证明

此证明使用两线的向量形成直角三角形，若且唯若其内积为零。设有直角三角形$ABC$，和以$AC$为直径的圆$O$。设$O$在原点，以方便计算。则$AB$和$BC$的内积为：

$(A-B)\cdot (B-C)=(A-B)\cdot (B+A)=|A|^{2}-|B|^{2}=0$

$|A|=|B|$

故$A$和$B$与圆心等距，即$B$在圆上。

一般化以及有关定理

泰勒斯定理是“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”的一个特殊情况。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理：

如果$AC$是一个圆的直径，则：

• 若$B$在圆内，则$\angle ABC>90^{\circ }$
• 若$B$在圆上，则$\angle ABC=90^{\circ }$
• 若$B$在圆外，则$\angle ABC<90^{\circ }$

历史

泰勒斯并非此定理的首名发现者，古埃及人和巴比伦人一定已知这特性，可是他们没有给出证明。