分配律(distributive property)是二元運算的一個性質,它起源於基本代數運算,同時部分抽象代數運算亦符合該定律
設
及
是定義在集合
上的兩個二元運算,我們說
對於
滿足左分配律,如果:
;
對於
滿足右分配律,如果:
;
- 如果
對於
同時滿足左分配律和右分配律,那麼我們說
對於
滿足分配律。
如果
滿足交換律,那麼以上三條語句在邏輯上是等價的。
- 除了實數以外,自然數、複數和基數中的乘法都對加法滿足分配律。
- 實數及複數中的除法都對加法滿足右分配律,但不滿足左分配律。
- 序數的乘法對加法只滿足左分配律,不滿足右分配律。
- 矩陣乘法對矩陣加法滿足分配律(但不滿足交換律)。
- 集合的併集對交集滿足分配律,交集對併集也滿足分配律。另外,交集對對稱差也滿足分配律。
- 邏輯析取對邏輯合取滿足分配律,邏輯合取對邏輯析取也滿足分配律。另外,邏輯合取對邏輯異或也滿足分配律。
- 對於實數(或任何全序集合),最大值對最小值滿足分配律,反之亦然:
![{\displaystyle \operatorname {max} (a,\operatorname {min} (b,c))=\operatorname {min} (\operatorname {max} (a,b),\operatorname {max} (a,c))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90556a3f4a9826d754c968e539c40d4a1319da6)
。
![{\displaystyle \operatorname {gcd} (a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\operatorname {gcd} (a,b),\operatorname {gcd} (a,c))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95acf648c6852eb4358edde72584bfc903a46f3)
。
- 對於實數,加法對最大值滿足分配律,對最小值也滿足分配律:
![{\displaystyle a+\operatorname {max} (b,c)=\operatorname {max} (a+b,a+c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814d7a644fd59fa0ec8ed297e9605ab4100b92dd)
。
環的分配律[編輯]
分配律在環和分配格中很常見。
一個環有兩個二元運算(通常稱為
和
),其中一個要求是
必須對
滿足分配律。
格是另外一種具有兩個二元運算
和
的代數結構。如果這兩個運算中的任何一個(例如
)對另外一個(
)滿足分配律,則
對
也一定滿足分配律,這時這個格便稱為分配格。