分配律(distributive property)是二元运算的一个性质,它起源于基本代数运算,同时部分抽象代数运算亦符合该定律
设
及
是定义在集合
上的两个二元运算,我们说
对于
满足左分配律,如果:
;
对于
满足右分配律,如果:
;
- 如果
对于
同时满足左分配律和右分配律,那么我们说
对于
满足分配律。
如果
满足交换律,那么以上三条语句在逻辑上是等价的。
- 除了实数以外,自然数、复数和基数中的乘法都对加法满足分配律。
- 实数及复数中的除法都对加法满足右分配律,但不满足左分配律。
- 序数的乘法对加法只满足左分配律,不满足右分配律。
- 矩阵乘法对矩阵加法满足分配律(但不满足交换律)。
- 集合的并集对交集满足分配律,交集对并集也满足分配律。另外,交集对对称差也满足分配律。
- 逻辑析取对逻辑合取满足分配律,逻辑合取对逻辑析取也满足分配律。另外,逻辑合取对逻辑异或也满足分配律。
- 对于实数(或任何全序集合),最大值对最小值满足分配律,反之亦然:
![{\displaystyle \operatorname {max} (a,\operatorname {min} (b,c))=\operatorname {min} (\operatorname {max} (a,b),\operatorname {max} (a,c))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90556a3f4a9826d754c968e539c40d4a1319da6)
。
![{\displaystyle \operatorname {gcd} (a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\operatorname {gcd} (a,b),\operatorname {gcd} (a,c))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95acf648c6852eb4358edde72584bfc903a46f3)
。
- 对于实数,加法对最大值满足分配律,对最小值也满足分配律:
![{\displaystyle a+\operatorname {max} (b,c)=\operatorname {max} (a+b,a+c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814d7a644fd59fa0ec8ed297e9605ab4100b92dd)
。
环的分配律[编辑]
分配律在环和分配格中很常见。
一个环有两个二元运算(通常称为
和
),其中一个要求是
必须对
满足分配律。
格是另外一种具有两个二元运算
和
的代数结构。如果这两个运算中的任何一个(例如
)对另外一个(
)满足分配律,则
对
也一定满足分配律,这时这个格便称为分配格。