條件收斂是數學中無窮級數和廣義積分的一種性質。收斂但不絕對收斂的無窮級數或廣義積分稱為條件收斂的。一個積分條件收斂的函數也稱為條件可積函數。
詳細定義[編輯]
條件收斂的級數[編輯]
給定一個實數項無窮級數
,如果它自身收斂於一個定值
:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc1b240d0ca91fcb92f6089773b09237cd10e90)
但由每一項的絕對值構成的正項級數:
不收斂:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c39c10696e8ddda3075e66e930f569eb614404b)
那麼就稱這個無窮級數
是一個條件收斂的無窮級數。[1]:149
條件收斂的廣義積分[編輯]
給定一個在區間
上有定義的函數
,如果
在任意的閉區間
上都可積,並且廣義積分:
![{\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b0638362697ff9b49fcedb6eea1d046e67f99e)
收斂,而函數絕對值的廣義積分:
![{\displaystyle \int _{a}^{+\infty }|f(x)|\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc7e520f24d4fd3208f598ddc8365ffd2b001a2)
發散,那麼就稱廣義積分
條件收斂。[2]:104
無窮級數[編輯]
常見的條件收斂的無窮級數包括交錯調和級數:
![{\displaystyle A_{h}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34733727eaf880f3f6c58bac57f0230e2c2bb5ab)
它收斂到定值:
,而對應的由每項的絕對值構成的正項函數:
叫做調和級數,是發散的。
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74153389a5c1bf71afe30eb7edc4227bb58f26d0)
廣義積分[編輯]
條件收斂的廣義積分的一個例子是函數:
在正實數軸上的積分:
![{\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e398d038a3e342dfb70a3dde872d6606ba2cee59)
任取實數
,運用分部積分法可以得到:
![{\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-{\frac {\cos a}{a}}-\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c433e14c02ecdc0ae71552fc63ac9a6c27a13b)
而對任意的正實數
:
![{\displaystyle {\Bigg |}\int _{A}^{B}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x{\Bigg |}\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {|\cos x|}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0e6c7ae2af46a3fbceb3838f1fe8da9b5d3896)
由柯西收斂原理可知廣義積分
收斂,所以
![{\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-\lim _{a\to +\infty }{\frac {\cos a}{a}}-\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\cos 1-\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2232c8dfdfd3ad9b9189e39eaaa8f3c5792b2d)
即積分:
收斂。但是,絕對值函數的積分:
不收斂。這是因為對任意自然數
,積分:
![{\displaystyle I_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{(k+1)\pi }}\mathrm {d} x={\frac {2}{(k+1)\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176bcbbf09e1cf4c8631c3ad5810e42c9d9773c8)
所以
![{\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \sum _{k=1}^{+\infty }I_{k}\geqslant {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k+1}}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0b4d673c013cdf457778716074f8ad6764feb7)
因此,積分
是條件收斂的。[2]:104-106
相關定理[編輯]
- 黎曼級數定理:假設
是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數
,都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列
,使得
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3843b5ef5d73d7f8efebf7f39b6a77b88d58aae2)
此外,也存在另一種排列
,使得
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b226528993d44a89b60c9128abb30efcd696141)
類似地,也可以有辦法使它的部分和趨於
,或沒有任何極限。[3]:192
反之,如果級數是絕對收斂的,那麼無論怎樣重排,它仍然會收斂到同一個值,也就是級數的和。[3]:193
參考來源[編輯]