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扭稜小星形十二面體

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扭稜小星形十二面體
扭稜小星形十二面體
類別均勻星形多面體
對偶多面體中五角六十面體英語Medial pentagonal hexecontahedron
識別
名稱扭稜小星形十二面體
Snub dodecadodecahedron
參考索引U40, C49, W111
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
siddid
數學表示法
考克斯特符號
英語Coxeter-Dynkin diagram
node_h 5 rat d2 node_h 5 node_h [1]
施萊夫利符號sr{52,5}
威佐夫符號
英語Wythoff symbol
| 2 52 5[2][3]
性質
84
150
頂點60
歐拉特徵數F=84, E=150, V=60 (χ=-6)
組成與佈局
面的種類20個正三角形
12個正五邊形
12個正五角星
頂點圖3.3.52.3.5
對稱性
對稱群Ih, [5,3]+, 532
圖像
立體圖
3.3.52.3.5
頂點圖

中五角六十面體英語Medial pentagonal hexecontahedron
對偶多面體

幾何學中,扭稜小星形十二面體是一種星形均勻多面體,索引為U40,由60個三角形面、12個正五邊形面和12個正五角星面組成[4][5],且有12組正五邊形面和正五角星面互相平行[6]:174,為小星形十二面體扭棱變換後的結果,具有二十面體群對稱性[4][7][8][3]扭稜小星形十二面體對偶多面體中五角六十面體英語Medial pentagonal hexecontahedron[2],並與反扭稜小星形十二面體拓樸同構[9]

性質

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扭稜小星形十二面體一共有84個、150條和60個頂點[3]。在其84個面中,有60個正三角形面、12個正五邊形面和12個五角星面[4][5],換句話說,具有3條邊的面共60個且具有5條邊的面共24個[10]。其12個正五邊形面和12個五角星面中,有12組正五邊形面和五角星面互相平行,這與截半大十二面體非常類似。[6]:174其60個頂點每個頂點都是1個十角星、1個五角星和3個三角形的公共頂點,並且這些面在頂都周圍皆是依照五角星、三角形、五邊形、三角形、三角形和三角形的順序排列,在頂點圖中可以用(52,3,5,3,3)[11](3.3.52.3.5)[4]來表示。

表示法

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扭稜小星形十二面體在考克斯特—迪肯符號英語Coxeter-Dynkin diagram中可以表示為node_h 5 rat d2 node_h 5 node_h (s52s5s)[1],在施萊夫利符號中可以表示為sr{52,5},在威佐夫記號中可以表示為| 2 52 5[2][3][12][13][4][10][5]

尺寸

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若扭稜小星形十二面體的邊常為單位長,則其外接球半徑為多項式之較大正實根(約為1.6242)的平方根[8],約為1.27443994[14]

[8]

中分球半徑則為多項式之正實根的平方根[8]

頂點座標

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扭稜小星形十二面體的頂點座標為下列座標的偶置換[8]

(±2α, ±2, ±2β),
(±(α+β/τ+τ), ±(-ατ+β+1/τ), ±(α/τ+βτ-1))
(±(-α/τ+βτ+1), ±(-α+β/τ-τ), ±(ατ+β-1/τ))
(±(-α/τ+βτ-1), ±(α-β/τ-τ), ±(ατ+β+1/τ))
(±(α+β/τ-τ), ±(ατ-β+1/τ), ±(α/τ+βτ+1))

帶有偶數個正號,其中

β = (α2/τ+τ)/(ατ−1/τ)

當中的 τ = (1+5)/2為黃金比例且 α是多項式τα4−α3+2α2−α−1/τ的正實根,約為0.7964421。 若上述座標使用奇置換並帶有奇數個正號的話,則會得到扭稜小星形十二面體的另一種形式,即另一種形式的對映體。

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. (原始內容存檔於2018-07-07). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Weisstein, Eric W. (編). Snub Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Roman E. Maeder. 40: snub dodecadodecahedron. mathconsult.ch. [2022-08-14]. (原始內容存檔於2022-08-14). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #45, snub dodecadodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. (原始內容存檔於2022-08-14). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Robert Whittaker. The Snub Dodecadodecahedron. polyhedra.mathmos.net. [2022-08-14]. (原始內容存檔於2021-09-22). 
  6. ^ 6.0 6.1 Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. (原始內容存檔於2021-08-31). 
  7. ^ Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). 2004-10 [2022-08-14]. (原始內容存檔於2014-04-02). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Snub Dodecadodecahedron. [2022-08-14]. (原始內容存檔於2022-02-14). 
  9. ^ Richard Klitzing. siddid, snub dodecadodecahedron. bendwavy.org. [2022-08-14]. (原始內容存檔於2022-08-17). 
  10. ^ 10.0 10.1 V.Bulatov. snub dodecadodecahedron. [2022-08-14]. (原始內容存檔於2021-02-28). 
  11. ^ Jim McNeill. Augmenting the snub dodecadodecahedron. orchidpalms.com. [2022-08-14]. (原始內容存檔於2016-03-06). 
  12. ^ George W. Hart. Uniform Polyhedra --- List. 1996 [2022-08-14]. (原始內容存檔於2018-09-19). 
  13. ^ Adrian Rossiter. snub dodecadodecahedron. antiprism.com. [2022-08-14]. (原始內容存檔於2022-08-14). 
  14. ^ Eric W. Weisstein. Snub Dodecadodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-08-14]. (原始內容存檔於2021-12-07).