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扭棱小星形十二面体

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扭棱小星形十二面体
扭棱小星形十二面体
类别均匀星形多面体
对偶多面体中五角六十面体英语Medial pentagonal hexecontahedron
识别
名称扭棱小星形十二面体
Snub dodecadodecahedron
参考索引U40, C49, W111
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
siddid
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_h 5 rat d2 node_h 5 node_h [1]
施莱夫利符号sr{52,5}
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
| 2 52 5[2][3]
性质
84
150
顶点60
欧拉特征数F=84, E=150, V=60 (χ=-6)
组成与布局
面的种类20个正三角形
12个正五边形
12个正五角星
顶点图3.3.52.3.5
对称性
对称群Ih, [5,3]+, 532
图像
立体图
3.3.52.3.5
顶点图

中五角六十面体英语Medial pentagonal hexecontahedron
对偶多面体

几何学中,扭棱小星形十二面体是一种星形均匀多面体,索引为U40,由60个三角形面、12个正五边形面和12个正五角星面组成[4][5],且有12组正五边形面和正五角星面互相平行[6]:174,为小星形十二面体扭棱变换后的结果,具有二十面体群对称性[4][7][8][3]扭棱小星形十二面体对偶多面体中五角六十面体英语Medial pentagonal hexecontahedron[2],并与反扭棱小星形十二面体拓朴同构[9]

性质

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扭棱小星形十二面体一共有84个、150条和60个顶点[3]。在其84个面中,有60个正三角形面、12个正五边形面和12个五角星面[4][5],换句话说,具有3条边的面共60个且具有5条边的面共24个[10]。其12个正五边形面和12个五角星面中,有12组正五边形面和五角星面互相平行,这与截半大十二面体非常类似。[6]:174其60个顶点每个顶点都是1个十角星、1个五角星和3个三角形的公共顶点,并且这些面在顶都周围皆是依照五角星、三角形、五边形、三角形、三角形和三角形的顺序排列,在顶点图中可以用(52,3,5,3,3)[11](3.3.52.3.5)[4]来表示。

表示法

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扭棱小星形十二面体在考克斯特—迪肯符号英语Coxeter-Dynkin diagram中可以表示为node_h 5 rat d2 node_h 5 node_h (s52s5s)[1],在施莱夫利符号中可以表示为sr{52,5},在威佐夫记号中可以表示为| 2 52 5[2][3][12][13][4][10][5]

尺寸

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若扭棱小星形十二面体的边常为单位长,则其外接球半径为多项式之较大正实根(约为1.6242)的平方根[8],约为1.27443994[14]

[8]

中分球半径则为多项式之正实根的平方根[8]

顶点座标

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扭棱小星形十二面体的顶点座标为下列座标的偶置换[8]

(±2α, ±2, ±2β),
(±(α+β/τ+τ), ±(-ατ+β+1/τ), ±(α/τ+βτ-1))
(±(-α/τ+βτ+1), ±(-α+β/τ-τ), ±(ατ+β-1/τ))
(±(-α/τ+βτ-1), ±(α-β/τ-τ), ±(ατ+β+1/τ))
(±(α+β/τ-τ), ±(ατ-β+1/τ), ±(α/τ+βτ+1))

带有偶数个正号,其中

β = (α2/τ+τ)/(ατ−1/τ)

当中的 τ = (1+5)/2为黄金比例且 α是多项式τα4−α3+2α2−α−1/τ的正实根,约为0.7964421。 若上述座标使用奇置换并带有奇数个正号的话,则会得到扭棱小星形十二面体的另一种形式,即另一种形式的对映体。

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. (原始内容存档于2018-07-07). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Weisstein, Eric W. (编). Snub Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Roman E. Maeder. 40: snub dodecadodecahedron. mathconsult.ch. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-14). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #45, snub dodecadodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-14). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Robert Whittaker. The Snub Dodecadodecahedron. polyhedra.mathmos.net. [2022-08-14]. (原始内容存档于2021-09-22). 
  6. ^ 6.0 6.1 Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. (原始内容存档于2021-08-31). 
  7. ^ Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). 2004-10 [2022-08-14]. (原始内容存档于2014-04-02). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Snub Dodecadodecahedron. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-02-14). 
  9. ^ Richard Klitzing. siddid, snub dodecadodecahedron. bendwavy.org. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-17). 
  10. ^ 10.0 10.1 V.Bulatov. snub dodecadodecahedron. [2022-08-14]. (原始内容存档于2021-02-28). 
  11. ^ Jim McNeill. Augmenting the snub dodecadodecahedron. orchidpalms.com. [2022-08-14]. (原始内容存档于2016-03-06). 
  12. ^ George W. Hart. Uniform Polyhedra --- List. 1996 [2022-08-14]. (原始内容存档于2018-09-19). 
  13. ^ Adrian Rossiter. snub dodecadodecahedron. antiprism.com. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-14). 
  14. ^ Eric W. Weisstein. Snub Dodecadodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-08-14]. (原始内容存档于2021-12-07).