Meissel-Mertens常數

隨著n變大，小於n質數的倒數和和自然數倒數和之間會差一個常數，此常數即為Meissel-Mertens常數，圖上用M表示

Meissel-Mertens常數（得名自Ernst Meissel和Franciszek Mertens），也稱為Mertens常數、克羅內克常數（得名自利奧波德·克羅內克）、Hadamard–de la Vallée-Poussin常數（得名自Jacques Hadamard、Charles Jean de la Vallée Poussin）、質數倒數和常數，是數論中的一個常數，定義為只針對質數的調和級數和自然對數的自然對數二者差的極限：

$M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln(n))\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right].$

其中$\gamma$為歐拉-馬歇羅尼常數，其定義恰好和上式有些類似之處。

$M$的值大約是

$M\approx 0.261\ 497\ 212\ 847\ 642\ 783\ 755\ 426\ 838\ 608\ 695\ 859\ 0516\ldots$ （OEIS數列A077761）.

依梅滕斯第二定理，上述的極限存在。

Meissel-Mertens常數的極限定義中出現對數的對數，可以看成是素數定理和歐拉-馬歇羅尼常數定義的組合。

Google在針對北電網絡專利拍賣投標時，曾用到此數字，Google三個投標的金額為：$1,902,160,540（布朗常數）、$2,614,972,128（Meissel-Mertens常數）、及$31.4159億（π）。

相關條目

• 素數的倒數之和
• 質數zeta函數

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Mertens Constant. MathWorld. 
• On the remainder in a series of Mertens (postscript file)