Meissel-Mertens常数

随着n变大，小于n质数的倒数和和自然数倒数和之间会差一个常数，此常数即为Meissel-Mertens常数，图上用M表示

Meissel-Mertens常数（得名自Ernst Meissel和Franciszek Mertens），也称为Mertens常数、克罗内克常数（得名自利奥波德·克罗内克）、Hadamard–de la Vallée-Poussin常数（得名自Jacques Hadamard、Charles Jean de la Vallée Poussin）、质数倒数和常数，是数论中的一个常数，定义为只针对质数的调和级数和自然对数的自然对数二者差的极限：

$M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln(n))\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right].$

其中$\gamma$为欧拉-马歇罗尼常数，其定义恰好和上式有些类似之处。

$M$的值大约是

$M\approx 0.261\ 497\ 212\ 847\ 642\ 783\ 755\ 426\ 838\ 608\ 695\ 859\ 0516\ldots$ （OEIS数列A077761）.

依梅滕斯第二定理，上述的极限存在。

Meissel-Mertens常数的极限定义中出现对数的对数，可以看成是素数定理和欧拉-马歇罗尼常数定义的组合。

Google在针对北电网络专利拍卖投标时，曾用到此数字，Google三个投标的金额为：$1,902,160,540（布朗常数）、$2,614,972,128（Meissel-Mertens常数）、及$31.4159亿（π）。

相关条目

• 素数的倒数之和
• 质数zeta函数

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Mertens Constant. MathWorld. 
• On the remainder in a series of Mertens (postscript file)