牛頓定理

在歐幾里得幾何中，牛頓定理指出除了菱形在任何圓外切四邊形中內切圓的圓心在在牛頓線上。

換句話說，就是任意圓外切四邊形的內心、兩條雙中線交點、兩個對角線中點，這四點共線，稱為牛頓線。如果圓外切四邊形是圓外切梯形，內心與雙中線交點重合，這三點共線，牛頓線與梯形中位線重合；如果圓外切四邊形是菱形，這四點重合，牛頓線不存在。

如右圖，假設四邊形ABCD是圓外切四邊形，且最多有一對平行的邊，然後假設點E和點F是對角線AC、DB的中點，點P是內切圓的中心，這樣的話P點就位於牛頓線上，即線段EF上的點。

牛頓定理可以簡單地從安妮定理出發：圓外切四邊形對邊的長度之和相等（皮托定理：a + c = b + d），根據安妮定理表明： $S\triangle ABP+S\triangle CDP=S\triangle ADP+S\triangle BCP$ ，足以證明點P在線段EF上。

{\begin{aligned}&A(\triangle PAB)+A(\triangle PCD)\\=&{\tfrac {1}{2}}ra+{\tfrac {1}{2}}rc={\tfrac {1}{2}}r(a+c)\\=&{\tfrac {1}{2}}r(b+d)={\tfrac {1}{2}}rb+{\tfrac {1}{2}}rd\\=&A(\triangle PBC)+A(\triangle PAD)\end{aligned}}

參考資料

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 9780883853481, pp. 117–118 (online copy，第117頁，載於Google圖書)