牛顿线
在欧几里得几何中，牛顿线是在最多一对对边平行的凸四边形中连接对角线中点的连线。凸四边形的两条双中线GH和IJ相交于K点，这个点在牛顿线上，并平分连接对角线中点的线段EF[1]。
当凸四边形为梯形时，由以上下底为底的三角形中位线原理，可得到两对角线中点与两腰中点四点共线，此时牛顿线与梯形中位线（两条双中线之一）重合。当凸四边形为平行四边形时，两对角线互相平分，中点重合，牛顿线不存在。
由安妮定理可知：任何在四边形ABCD牛顿线上的点P具有的性质。由牛顿定理可知：如果四边形是圆外切四边形，那么它的內心也在这条线上[2]。
牛顿线平行四邊形
[编辑]| - | 牛顿线 | 牛顿线平行四邊形 |
|---|---|---|
| 定义 | 任意四边形四边上中点，依次相连形成 | 非平行四邊形对边上的中点与对角线中点，依次相连形成 |
| 证明为平行四边形 | 通过以对角线为底的三角形中位线证明 | 通过以边为底的三角形中位线证明 |
| 存在个数 | 任意四边形都有一个，包括不共面四边形 | 平行四邊形不存在，梯形有一个，一般四边形有两个 |
| 面积 | 原四边形的二分之一，可通过三角形中位线证明 | 原四边形对顶角对角线三角形面积差的二分之一，可通过三角形中位线证明 |
参见
[编辑]参考资料
[编辑]- ^ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 9780883853481, pp. 108-109 (online copy，第108頁，載於Google圖書)
- ^ Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 15.
外部链接
[编辑]- 埃里克·韦斯坦因. Léon Anne's Theorem. MathWorld.
- Alexander Bogomolny: Bimedians in a Quadrilateral （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot.org