用參數方程可以很容易表示出的蝶形線
參數方程(英語:Parametric equation)和函數相似,都是由一些在指定的集合的數,稱為參數或自變數,以決定因變數的結果。例如在運動學,參數通常是「時間」,而方程的結果是速度、位置等。
一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函數:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9589cb0e9598dc6c10af12bbfcad8d52d657b99)
並且對於t的每一個允許的取值,由方程組確定的點(x, y)都在這條曲線上,那麼這個方程就叫做曲線的參數方程,聯繫變數x、y的變數t叫做參變數,簡稱參數。相對而言,直接給出點坐標間關係的方程叫普通方程。
,表示了平面上半徑為
、以原點為圓心的圓。在三維,加入
,便是螺旋的圖形。這些式子可以表示成:
![{\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373ce72c52461c368e54dd326855cc6ca72b3a50)
如果有一個粒子,沿這個螺旋的路徑而行,直接微分上面的式子便會得到粒子的速度:
![{\displaystyle v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1ff9e02f8cddcc6db7f7054950e8b67ff7943b)
及加速度:
![{\displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd4a6943fce12f57fee07f5c0c2e0d6d0e6693c)
參數曲線亦可以是多於一個參數的函數。例如參數表面是兩個參數(s,t)或(u,v)的函數。
譬如一個圓柱:
![{\displaystyle r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(a\cos(u),a\sin(u),v)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7797422067093bfc2ec0046f77303993f8f2c6)
參數是參變數的簡稱。它是研究運動等一類問題中產生的。質點運動時,它的位置必然與時間有關係,也就是說,質的坐標x,y與時間t之間有函數關係x=f(t),y=g(t),這兩個函數式中的變量t,相對於表示質點的幾何位置的變量x,y來說,就是一個「參與的變量」。這類實際問題中的參變量,被抽象到數學中,就成了參數。我們所學的參數方程中的參數,其任務在於溝通變量x,y及一些常量之間的聯繫,為研究曲線的形狀和性質提供方便。
用參數方程描述運動規律時,常常比用普通方程更為直接簡便。對於解決求最大射程、最大高度、飛行時間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較複雜的曲線(例如圓的漸開線),建立它們的普通方程比較困難,甚至不可能,列出的方程既複雜又不易理解,如圓的漸開線的普通方程。
根據方程畫出曲線十分費時;而利用參數方程把兩個變量x,y間接地聯繫起來,常常比較容易,方程簡單明確,且畫圖也不太困難。
常見參數方程[編輯]
![{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4897e12e45d8af191b7a3f7b4fe152cbd8ab0d2a)
圓形參數方程在r=1的情形。
- 直線:
- 點斜式過
,斜率為
的直線: ![{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+t\\y=y_{0}+mt\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2d7a7f9310a08d478334492e38e52686999acd)
- 點向式過
, 方向向量為
的直線:![{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+ut\\y=y_{0}+vt\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95f443e52d538cc747c3beb26f3171fc50bba4b)
- 圓:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4897e12e45d8af191b7a3f7b4fe152cbd8ab0d2a)
- 橢圓:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bfa91a7d9901373fdc06e18e7d6c21c2652e6a)
- 雙曲線:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec t\\y=b\tan t\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3375f00cb6debd44e6530c25bff3c2b733215db9)
- 拋物線:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=2ct\\y=t^{2}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b332c5e48771e3da905df62aca29fea2dbbeb1)
- 螺線:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=t\cos lt\\y=t\sin lt\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efc7a61a6657ea100b4befbd6281430faadd4c2)
- 擺線:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cdot \left(t-\sin t\right)\\y=r\cdot \left(1-\cos t\right)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e71b09d0c6d22826f12f58049f3a80fe2a5eb6)
註:上文中的
為已知數,t都為參數, x, y為變量