蛇引理

在同调代数中，蛇引理是构造长正合序列的关键工具，此引理在任何阿贝尔范畴中皆成立。依此构造的同态通常称作连结同态。

叙述[编辑]

考虑一阿贝尔范畴 ${\mathcal {A}}$ （例如阿贝尔群或模的范畴）中的交换图：

使得每一横列均为正合序列。此时存在一个联系 $a,b,c$ 的核与上核的正合序列：

$\ker a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker c\;{\overset {d}{\longrightarrow }}\operatorname {coker} a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} c$

此外，若 $f$ 是单射，则 $\ker a\to \ker b$ 亦然；若 $g'$ 是满射，则 $\mathrm {coker} b\to \mathrm {coker} c$ 亦然。

引蛇出洞[编辑]

为了理解蛇引理的由来，观察下图：

并注意到：引理给出的正合序列可在此图中画成倒S状的蛇形。

构造连接同态[编辑]

核间的同态与上核间的同态很容易构造，它们由该图的交换性自然导出，正合性也可以直接代定义验证。重点在于连接同态 $d$ 及序列在该处的正合性。

对于模范畴的情形，同态 $d$ 可如是构造：

选定 $x\in \ker c$ ，并视之为 $C$ 的元素；由于 $g$ 是满射，存在 $y\in B$ 满足 $g(y)=x$ 。由图的交换性，我们有

g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0

（因为

x\in \ker c

）

于是 $b(y)\in \ker g'$ 。由于底部的横列正合，存在 $z\in A'$ 使得 $f'(z)=b(y)$ 。置 $d(x):=z+\mathrm {im} (a)$ 。今须验证 $d$ 是明确定义的，即 $d(x)$ 不依赖 $y,z$ 之选取；此外尚须验证它是个同态，及序列的正合性。