蛇引理

在同調代數中，蛇引理是構造長正合序列的關鍵工具，此引理在任何阿貝爾範疇中皆成立。依此構造的同態通常稱作連結同態。

敘述[编辑]

考慮一阿貝爾範疇 ${\mathcal {A}}$ （例如阿貝爾群或模的範疇）中的交換圖：

使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫 $a,b,c$ 的核與上核的正合序列：

$\ker a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker c\;{\overset {d}{\longrightarrow }}\operatorname {coker} a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} c$

此外，若 $f$ 是單射，則 $\ker a\to \ker b$ 亦然；若 $g'$ 是滿射，則 $\mathrm {coker} b\to \mathrm {coker} c$ 亦然。

引蛇出洞[编辑]

為了理解蛇引理的由來，觀察下圖：

並注意到：引理給出的正合序列可在此圖中畫成倒S狀的蛇形。

構造連接同態[编辑]

核間的同態與上核間的同態很容易構造，它們由該圖的交換性自然導出，正合性也可以直接代定義驗證。重點在於連接同態 $d$ 及序列在該處的正合性。

對於模範疇的情形，同態 $d$ 可如是構造：

選定 $x\in \ker c$ ，並視之為 $C$ 的元素；由於 $g$ 是滿射，存在 $y\in B$ 滿足 $g(y)=x$ 。由圖的交換性，我們有

g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0

（因為

x\in \ker c

）

於是 $b(y)\in \ker g'$ 。由於底部的橫列正合，存在 $z\in A'$ 使得 $f'(z)=b(y)$ 。置 $d(x):=z+\mathrm {im} (a)$ 。今須驗證 $d$ 是明確定義的，即 $d(x)$ 不依賴 $y,z$ 之選取；此外尚須驗證它是個同態，及序列的正合性。