Ed Pegg jr.先生發現上圖中的線段d長度為
,非常接近7(數值為7.0000000857)[1]
在趣味數學中,接近整数是指很接近整數的無理數。這類數字中,有些因為其數學上的特性使其接近整数,有些還找不到其特性,看起來似乎只是巧合。
黃金比例
的高次方符合此特性。例如



- 其中
代表費波納契數列的第
項
這是因為有恆等式
[註 1],所以當
為足夠大的正整數時,

這些數字接近整數的原因和黃金比例的特性有關,不是數學巧合。其原因是因為黃金比例為皮索特-维贾亚拉加文数,而皮索特-维贾亚拉加文数的高次方會是接近整數。
這些數字與費波納契數有密切的關係,因為費波納契數相鄰兩項的比值會趨近於黃金比例,而如果m整除n,則第m個費波納契數也會整除第n個費波納契數。
皮索特-维贾亚拉加文数是指代數數本身大於1,而且其極小多項式中另一根的絕對值小於1。像黃金比例本身大於1,
的最小多項式為
另一根為
絕對值小於1,因此黃金比例為皮索特-维贾亚拉加文数,其高次方會是接近整数。
依照根和系数的关系,可得知
而
可以用
及
來表示,由於二根之和及二根之積均為整數,計算所得的結果也是一個正整數,假設為一正整數K,則
可以用下式表示
由於
的絕對值小於1,在n增大時,其高次方會趨於0,此時可得
除了黃金比例外,其他皮索特-维贾亚拉加文数的無理數也符合此一條件,例如
。
以下也是幾個非巧合出現的接近整數,和最大三項的黑格納數有關:



以上三式可以用以下的式子表示[2]:



其中:
由於艾森斯坦級數的關係,使得上式中出現平方項。常數
有時會稱為拉馬努金常數。
許多有關π及e的常數也是接近整數,例如

以及

格尔丰德常数(
)接近
,至2011年為止還沒找到出現此特性的原因[1],因此只能視為一數學巧合。另一個有關格尔丰德常数的常數也是接近整數
以下也是一些接近整數的例子















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,其中
是辛钦常数
![{\displaystyle {}_{{\frac {10}{81}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}10^{-n\left[k-(10^{n-1}-1)\right]}k}{10^{\sum _{k=0}^{n-1}9\times 10^{k-1}k}}}={\frac {10}{81}}-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{kn-9\sum _{k=0}^{n-1}10^{k}(n-k)}}}\approx 1.022344\times 10^{-9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fce0aa2270420a60e547b6a7d8d260c731e04a9)


![{\displaystyle {}_{{\frac {615-55{\sqrt {5}}-{\sqrt[{3}]{7451370+3332354{\sqrt {5}}+6{\sqrt {8890710030+3976046490{\sqrt {5}}}}}}-{\sqrt[{3}]{7451370+3332354{\sqrt {5}}-6{\sqrt {8890710030+3976046490{\sqrt {5}}}}}}}{6}}\approx 1.40677447684\times 10^{-6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3089725651ebd292f2f5c48ca8cd4dbf48e79ea1)

![{\displaystyle {}_{\tan \left({\frac {\arctan 4}{5}}+{\frac {4\pi }{5}}\right)+{\frac {19}{50}}={\frac {219}{50}}+{\frac {-1-{\sqrt {5}}+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{884+799{\rm {i}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {5}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{884-799{\rm {i}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{1156+289{\rm {i}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{1156-289{\rm {i}}}}\approx -9.141538637378949398666277\times 10^{-6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5eccb514738b7a3041bd62704e2a92e9376fa29)
![{\displaystyle {}_{\rm {{erfi}\left({\rm {{erfi}{\frac {\sqrt {3}}{3}}}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {\sqrt {3}}{3}}e^{t^{2}}{\rm {{d}t}}}e^{u^{2}}{\rm {{d}u={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{\left({\frac {2{\sqrt[{3}]{e}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}t\right)}{e^{t^{2}}}}{\rm {d}}t\right)^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left[{\frac {4u{\sqrt[{3}]{e}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}t\right)}{e^{t^{2}}}}{\rm {d}}t\right]}{e^{u^{2}}}}{\rm {d}}u={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{{}_{{\frac {2{\sqrt[{3}]{e}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}t\right)}{e^{t^{2}}}}{\rm {d}}t}}e^{u^{2}}{\rm {d}}u={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {\sqrt {3}}{3}}e^{t^{2}}{\rm {{d}t}}\right)^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {4u}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {\sqrt {3}}{3}}e^{t^{2}}{\rm {{d}t}}\right)}{e^{u^{2}}}}{\rm {d}}u\approx 1.00002087363809430195879}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be1e0060b8bc6af24aa71f3328cd50f56b4b988)
,這是由於
的緣故,另一個類似的例子為

