隐函数定理

在数学分析中，隐函数定理（英語：Implicit function theorem）是一個用來回答下面的問題的工具：

以隐函数表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？

隐函数定理说明，对于一个由关系 $f(x,y)=0$ 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有鄰域使得在該鄰域內 $y$ 可以表示成关于 $x$ 的函数：

y=h(x)

这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。

舉一個簡單例子：假設兩個變量 $x, y$ 滿足隱函數 $x 2 + y 2 - 1 = 0$ ，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 $y = h (x)$ 去(局部的)描述這單位圓的圖形？

答案是：除了 $(-1,0)$ 跟 $(1,0 )$ 兩點外，其他點局部上都有 $y = h (x)$ 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。

例子

有函數 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ ，那么方程式 $f(x,y)-1=0$ 的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 $y=h(x)$ 的形式的，因为每个 $x\in (-1,1),$ 都有两个解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y} 的值与之对应，即 $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ 。

然而在某些點附近，局部地用 $x$ 來表示 $y$ 是可能的。比如给定圆上一点 $(x,y)$ ，如果 $y>0$ ，也就是说如果只選取圓的上半部分的话，在这一点附近 $y$ 可以写成关于 $x$ 的函数： $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ 。如果 $y<0$ ，在圓的下半部分 $y$ 也可以写成关于 $x$ 的函数： $y=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ 。

但是，在点 $(\pm 1,0)$ 的附近， $y$ 无法写成关于 $x$ 的函数，因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是說对于附近的每一个解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} ，都有两个 $y$ 的值与之对应，這種情況下 $y$ 無法寫成 $x$ 的函數。

定理的叙述：欧几里得空间的情况

设 $f : R n+m \to R m$ 为一个连续可微函数。这里 $R n+m$ 被看作是两个空间的直积： $R n \times R m$ ，于是 $R n+m$ 中的一个元素写成 $(x, y) = (x 1, ..., x n, y 1, ..., y m)$ 的形式。我們的目標是找到一個函數 $h : R n \to R m$ ，讓這函數的圖形(graph of a function), $(x, h (x))$ , 局部上恰好等於集合{ $(x, y) | f (x, y) = 0$ }，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 $h$ 的局部存在。

固定一点 $(a, b) = (a 1, ..., a n, b 1, ..., b m)$ 使得 $f (a, b) = 0$ ，我們希望在點 $(a, b)$ 的附近找到一個 $y$ 关于 $x$ 的函数 $h$ ，严格来说，就是说存在 $a$ 的鄰域 $U \subseteq R n$ 和 $b$ 的邻域 $V \subseteq R m$ 以及函數： $h : U \to V$ ，使得 $h$ 的函數的圖形 $(x, h (x))$ 剛好等於 $U \times V$ 中 $f (x, y) = 0$ 的集合，也就是說：

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \{ (\mathbf{x}, h(\mathbf{x})) \mid \mathbf x \in U \} = \{ (\mathbf{x}, \mathbf{y})\in U \times V \mid f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{0} \}} 。

要保證这样的函数 $h$ 存在，函数 $f$ 的雅可比矩阵要满足某些性質。对于给定的一点 $(a, b)$ ， $f$ 的雅可比矩阵写作：

(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]

其中的矩阵 $X$ 是函數 $f$ 关于變數 $x$ 的偏微分，而矩陣 $Y$ 是 $f$ 关于變數 $y$ 的偏微分。隐函数定理说明了：如果 $Y$ 是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的鄰域 $U$ 、 $V$ 和函数 $h (x)$ 就会存在。正式的敘述就是：

设

f : R n+m \to R m

为连续可微函数，讓

R n+m

中的坐标记为

(x, y)

,

(x, y) = (x 1, ..., x n, y 1, ..., y m)

。给定一点

(a 1, ..., a n, b 1, ..., b m) = (a, b)

使得

f (a, b)= 0

（

0 \in R m

，是個零向量）。如果

m \times m

矩陣

[(\partial f i / \partial y j)(a, b)

是可逆矩阵的话（此矩陣即上面的矩陣

Y

），那么存在

a

的邻域

U \subseteq R n

、

b

的邻域

V \subseteq R m

以及唯一的连续可微函数

h : U \to V

，使得

h(\mathbf {a} )=\mathbf {b}

且

f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ,\,\,

對所有的

\mathbf {x} \in U

。

一般情形

设 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ 和 $F$ 是三个巴拿赫空间，而 $U$ 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle V} 分别是 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ 上的两个开集。设函数：

f:U\times V\rightarrow F

是一個 $k~(k\geq 1)$ 階可微函數（見Fréchet導數），并且对于 $E_{1}\times E_{2}$ 中的一点 $(x_{0},y_{0})$ ，满足：

$f(x_{0},y_{0})=0$
映射 $y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)$ 是一個從 $E_{2}$ 到 $F$ 的同構

那么有如下结论：

存在

x_{0}

的邻域

U_{0}\subset U

、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_0} 的邻域

V_{0}\subset V

，以及

k

階Fréchet可微函數

\varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}

，使得：

对任意

(x,y)\in U_{0}\times V_{0}

，只要

f(x,y)=0

，就有

y=\varphi (x)

。

参见

参考来源

（英文）Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF). Iowa State University. [2009-11-05]. （原始内容 (PDF)存档于2021-05-07）.
Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984.

Danilov, V.I., Implicit function (in algebraic geometry), Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2.

Fritzsche, K.; Grauert, H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. 2002.

Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522.

Kudryavtsev, Lev Dmitrievich, Implicit function, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117.

Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.