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皮特里對偶

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拓樸圖論英语Topological_graph_theory中,嵌入圖的皮特里對偶(Petrie Dual)是指所有面皆為2-流形盤面之嵌入圖英语Graph embedding的另一種嵌入英语Graph embedding,且是含有前述嵌入圖之嵌入对象的皮特里多邊形作為維面的圖嵌入[1]。皮特里對偶亦可以作為一種多面體變換,稱為皮特里變換(Petrie Operation),其會將原像的面以皮特里多邊形做替換,然而變換結果通常會因為面轉變為無法確定唯一封閉區域的皮特里多邊形而導致體積表面積不存在。[2]

原像計為,則變換結果可以用表示[3]

性質

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皮特里對偶與一般的對偶變換英语Dual_graph一樣,可做透過重複做兩次相同變換使其變回原像[4]。而皮特里對偶與一般的對偶變換不同之處在於,一般的對偶變換是在同一個曲面上嵌入不同的圖,而皮特里對偶是將相同圖的嵌入在不同的曲面上。[1]

皮特里對偶與一般的對偶變換英语Dual_graph威爾森變換英语Wilson operation的其中兩種,且這些變換共同組成了一個[5]

正多面體的皮特里對偶

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正多面體做皮特里變換可以得到正則地區圖[3]。其變換結果會有g/2h個扭歪h邊形,其中g為群的階數、h為群的考克斯特數。舉例來說,立方體的皮特里對偶是一個二分图,由4個[註 1]扭歪六邊形組成,每個扭歪六邊形環繞於立方體的赤道面上。在拓撲上,這個變換等同將圖嵌入到環面上。[1]

凸正多面體的皮特里對偶列舉如下[2]

正多面體的皮特里對偶
名稱 皮特里正四面體 皮特里立方體 皮特里正八面體 皮特里正十二面體 皮特里正二十面體
施萊夫利符號 {3,3}π , {4,3}3 {4,3}π , {6,3}4 {3,4}π , {6,4}3 {5,3}π , {10,3} {3,5}π , {10,5}
(頂點數,邊數,面數), χ (4,6,3), χ = 1 (8,12,4), χ = 0 (6,12,4), χ = −2 (20,30,6), χ = −4 (12,30,6), χ = −12
3個正扭歪四邊形
4個正扭歪六邊形 6個正扭歪十邊形
圖像
旋轉動畫
相關圖
{4,3}3 = {4,3}/2 = {4,3}(2,0)

{6,3}3 = {6,3}(2,0)

{6,4}3 = {6,4}(4,0)

{10,3}5
{10,5}3

非凸正多面體也有對應的皮特里對偶列舉如下[2]

星形正多面體的皮特里對偶
名稱 皮特里大十二面體 皮特里小星形十二面體 皮特里大二十面體 皮特里大星形十二面體
施萊夫利符號 {5,5/2}π , {6,5/2} {5/2,5}π , {6,5} {3,5/2}π , {10/3,5/2} {5/2,3}π , {10/3,3}
(頂點數,邊數,面數), χ (12,30,10), χ = -8 (12,30,10), χ = -8 (12,30,6), χ = -12 (20,30,6), χ = -4
10個正扭歪六邊形 6個正扭歪十邊形
圖像
旋轉動畫

半正多面體的皮特里對偶

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皮特里多邊形的概念亦可以推廣到半正多面體[10]

部分的半正多面體皮特里對偶
名稱 皮特里三角柱[10] 皮特里截角四面體[10][7] 皮特里截半立方體[10][7]
原像 正三角柱 截角四面體 截半立方體
(頂點數,邊數,面數) (6,9,3) (12,18,3) (12,24,6)
3個扭歪六邊形
3個扭歪十二邊形
6個扭歪八邊形
旋轉動畫

註解

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  1. ^ 立方體的八面體對稱性階數為48、考克斯特數為6,故其具有個面

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 McMullen, P., Schulte, E. Regular Polytopes in Ordinary Space. Discrete & Computational Geometry. 1997/06/01, 17 (4): pp.449-478 [2020-08-09]. ISSN 1432-0444. doi:10.1007/PL00009304. (原始内容存档于2018-06-03). 
  3. ^ 3.0 3.1 McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge University Press: 192, 2002, ISBN 9780521814966 
  4. ^ Cunningham, Gabe. Self-dual, self-petrie covers of regular polyhedra. Symmetry (Molecular Diversity Preservation International). 2012, 4 (1): 208–218. 
  5. ^ Jones, G. A.; Thornton, J. S., Operations on maps, and outer automorphisms, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 1983, 35 (2): 93–103, MR 0733017, doi:10.1016/0095-8956(83)90065-5 
  6. ^ Petrie Duals. weddslist.com. [2020-08-09]. (原始内容存档于2020-10-22). 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Deza, Michel and Dutour, Mathieu. Zigzag structure of complexes. arXiv preprint math/0405279. 2004. 
  8. ^ Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6 
  9. ^ Coxeter 1980[8], 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.
  10. ^ 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Deza, Michel. Note on Petri duals and hypercube embeddings of semiregular polyhedra. Symmetry. 2011-01, 22.