在數學中,代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇,在複數域上,同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中,則以概形論的語言重新表述。
性質的比較[编辑]
給定一個
上的局部有限型概形
,可以考慮相應的複解析空間
。此對應
定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一
-模
,同樣可考慮相應的
-模
,這也給出相應的函子。可以證明
是一個正合、忠實且保守的函子。
論證中用到的關鍵性質是:
是平坦的
-模。
拓撲性質比較[编辑]
設
為一局部可構子集(即:局部閉集的有限併集),以下
的性質在
中成立,若且唯若在
中成立:
當
為有限型態射時,對於
及
本身,下述性質也是相通的:
概形性質比較[编辑]
以下性質對
成立,若且唯若對
成立:
- 非空
- 離散
- 科恩-麥考利概形
![{\displaystyle S_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4)
![{\displaystyle R_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a51eb87e8de827a6df940f756f9ab254cb336b)
- 正規
- 既約
- 維度等於
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
態射性質比較[编辑]
設
為概形的態射,
為複解析空間的相應態射,則下述性質對
成立若且唯若對
成立:
- 平坦
- 非分歧
- 平展
- 平滑
- 正規
- 既約
- 分離
- 單射(拓撲意義)
- 同構
- 單射(範疇論意義)
- 開浸入
若再要求
是有限型態射,則可再加入下述性質:
- 滿射(拓撲意義)
- 優勢態射
- 閉浸入
- 浸入
- 真態射
- 有限態射
上同調比較[编辑]
以下假設
是真態射,對任一個凝聚
-模
,有自然同構:
![{\displaystyle (R^{\bullet }f_{*}F)^{\mathrm {an} }{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}R^{\bullet }f_{*}^{\mathrm {an} }(F^{\mathrm {an} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2730cbae86aabe46cf90395062a25295012c6432)
當
時,遂有層上同調的比較定理:
![{\displaystyle H^{\bullet }(X,F){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}H^{\bullet }(X^{\mathrm {an} },F^{\mathrm {an} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a72b6eb5087d500bed1e1a1b9f1bb1e8db383ac)
此時
給出範疇的等價。
黎曼存在性定理[编辑]
黎曼存在性定理則斷言:若
是
-上的局部有限型概形,且
是複解析空間的有限平展覆蓋,則存在
-概形
及平展態射
,使得
。此外,函子
給出從【
的有限平展覆蓋】到【
的有限平展覆蓋】的範疇等價。
當
為連通時,此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理:
![{\displaystyle {\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}\sim \pi _{1}^{\mathrm {alg} }(X,x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/808b1300f47b285ae71dd7edd0d1960cd689c61d)
其中
,而
表示代數基本群
對有限指數子群的完備化。