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非交換調和分析

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數學中,非交換調和分析傅立葉分析的結果推廣到非交換拓撲群[1]由於局部緊阿貝爾群有很好理解的理論——龐特里亞金對偶性,其中包括傅立葉級數傅立葉變換的基本結構,因此非交換調和分析的主要任務一般認為是將其推廣到所有局部緊G。1920年代提出彼得-魏爾定理後,緊群情形被定性地理解為與有限群及其特徵標理論大致相似。

因此,有局部緊、非緊、非交換的群G的情形。有趣的例子如很多李群P進數域上的代數群。這些例子在數學物理和當代數論(尤其是自守表示)中有廣泛應用。

約翰·馮·諾伊曼的基礎成果是眾所周知的,他指出,若G馮諾依曼群代數屬於I型,則作為G么正表示是不可還原表示的直積分。因此,其參數是么正對偶,即此種表示的同構類集合,被賦予了殼-核拓撲(hull-kernel topology)普朗歇爾定理的類似定理抽象地給出了么正對偶上的一個測度,即普朗歇爾測度,與之相關的是直積分(對於龐特里亞金對偶性而言,普朗歇爾測度是G的對偶群商的某個哈爾測度,因此唯一的問題是其歸一化(normalization))。對於一般的局部緊群,甚至可數離散群,馮諾依曼群代數不一定是I型的,G的正則表達(regular representation)不能寫成不可還原表示,即便它是么正、完全可約的。這種情況的例子是無限對稱群,當中馮諾依曼群代數是超無限型II1因子。進一步的理論將普朗歇爾測度分為離散和連續兩部分。對於半單群可解李群,有非常詳盡的理論。[2]

另見

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參考文獻

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  • "Noncommutative harmonic analysis: in honor of Jacques Carmona", Jacques Carmona, Patrick Delorme, Michèle Vergne; Publisher Springer, 2004 ISBN 0-8176-3207-7 [3]
  • Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.

注釋

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  1. ^ Gross, Kenneth I. On the evolution of noncommutative harmonic analysis. Amer. Math. Monthly. 1978, 85 (7): 525–548 [2024-04-06]. JSTOR 2320861. doi:10.2307/2320861. (原始內容存檔於2024-02-12). 
  2. ^ Taylor, Michael E. Noncommutative Harmonic Analysis. August 1986 [2024-04-06]. ISBN 9780821873823. (原始內容存檔於2024-04-06). 
  3. ^ Noncommutaive Harmonic Analysis: In Honor of Jacques Carmona. [2024-04-06]. (原始內容存檔於2024-04-06).