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閉包算子

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數學中,給定偏序集合 (P, ≤),在 P 上的閉包算子函數 C : PP 帶有如下性質:

  • xC(x) 對於所有 x,就是說 C擴展性的。
  • 如果 xy,則 C(x) ≤ C(y),就是 C單調遞增的。
  • C(C(x)) = C(x) 對於所有的 x,就是說 C冪等函數

例子

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名字來自形成拓撲空間的子集的閉包有這些性質,如果所有子集的集合按包含 ⊆ 來排序。(注意拓撲閉包算子不由這些性質來刻畫;完全特徵刻畫請參見庫拉托夫斯基閉包公理。)

另一個典型閉包算子是: 選取 G 和任何 G 的子集 X,設 C(X) 是 X 生成的子群,就是說包含 XG 的最小子群。則 C 是在 G 的子集的集合上閉包算子,它按包含 ⊆ 排序。類似的例子有向量空間的給定子集所生成的子空間的給定子集生成的子域,甚至泛代數意義上任何代數的給定子集生成的子代數。

實數到實數的上取整函數,它對所有實數 x 指派不小於 x 的最小整數,也是閉包算子。

閉合元素和性質

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給定閉包算子 CP 的「閉合元素」是一個元素 x,它是 C不動點,或者等價的說,它在 C 的像中。如果 a 是閉合的並且 x 是任意的,則有著 xa 若且唯若 C(x) ≤ a。所以 C(x) 是大於或等於 x 的最小閉合元素。我們看到 C 被唯一的確定自閉合元素的集合。

所有伽羅瓦連接都引發一個閉包算子(其條目中有解釋)。事實上,所有閉包算子都以這種方式引發自伽羅瓦連接。伽羅瓦連接不唯一的確定自閉包算子。引發閉包算子 C 的伽羅瓦連接可以描述如下: 如果 A 是關於 C 的閉合元素的集合,則 C : PA 是在 PA 之間的伽羅瓦連接的下伴隨,帶有上伴隨為把 A 嵌入到 P 中。進一步的說,所有把某個子集嵌入 P 的下伴隨都是閉包算子。「閉包算子是嵌入的下伴隨」。但是注意不是所有嵌入都有下伴隨。

任何偏序集合 P 都可以被看作範疇,帶有從 xy 的一個單一態射若且唯若 xy。在偏序集合 P 上的閉包算子就是在範疇 P 上的 單子。等價的說,閉包算子可以被單做有額外的冪等擴展性質的 Posets 範疇的 endofunctor。

如果 P完全格,則 P 的子集 A 是對某個 P 上閉包算子的閉合元素的集合,若且唯若 A 是在 P 上的 Moore家族,就是說 P 的最大元素在 A 中,並且任何 A 中非空子集的下確界(交運算)也在 A 中。任何這樣的集合 A 自身是帶有繼承自 P 的次序的完全格(但是上確界(並運算)可能不同於 P 的)。在 P 上的閉包算子自身形成一個完全格;在閉包算子上的次序定義為 C1C2 若且唯若 C1(x) ≤ C2(x) 對於所有 P 中的 x

推廣

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如上面提及的,閉包可以被看作來自伽羅瓦連接。如果把伽羅瓦連接推廣為伴隨函子,閉包的對應是 單子

引用

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  • Brown D.J. and Suszko R. (1973). Abstract Logics, Dissertationes Mathematicae, 102, 9-42.
  • Castellini G. (2003) Categorical closure operators, Birkauser.
  • Gerla G. (2000) Fuzzy Logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning, Kluwer Ac. Publishers.
  • Lloyd J.W. (1987) Foundations of Logic Programming, Springer-Verlag, Berlin.
  • Tarski A. (1956). Logic, semantics and metamathematics, Clarendon Press, Oxford.
  • Ward M. (1942). The closure operators of a lattice, Annals of Mathematics, 43, 191-196.

參見

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