閉值域定理

閉值域定理是數學中的巴拿赫空間理論中的一個定理，給出了閉合稠定線性算子（closedDensely defined operator）的值域為閉集的充要條件。這一定理由斯特凡·巴拿赫於1932年在《線性算子理論》（Théorie des opérations linéaires）一文中給出了證明。

設X與Y為巴拿赫空間，若T : D(X) → Y是一個閉合的線性算子，它的定義域D(X)在X中稠密，而$\scriptstyle {T'}$是它的轉置算子。則定理指出，如下四個結論等價：

• $\scriptstyle {T}$的值域（像）$\scriptstyle {\operatorname {Im} (T)}$是$\scriptstyle {Y}$中的閉集。
• $\scriptstyle {T'}$的值域$\scriptstyle {\operatorname {Im} (T')}$是$\scriptstyle {X}$的對偶空間$\scriptstyle {X'}$中的閉集。
• $\operatorname {Im} (T)=\operatorname {Ker} (T')^{\perp }=\{y\in Y|\langle x^{*},y\rangle =0\quad \forall \quad x^{*}\in \operatorname {Ker} (T')\}$
• $\operatorname {Im} (T')=\operatorname {Ker} (T)^{\perp }=\{x^{*}\in X'|\langle x^{*},y\rangle =0\quad \forall \quad y\in \operatorname {Ker} (T)\}.$

此定理有一些直接的推論。比如，若且唯若算子的轉置存在連續的逆算子時（continuous inverse），存在一個稠定線性算子T使得Im(T) = Y。相似地，若且唯若T存在連續的逆算子時，$\scriptstyle {\operatorname {Im} (T')=X'}$。

另見

• 線性代數基本定理

參考來源

• Yosida, K., Functional Analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Fundamental Principles of Mathematical Sciences)，vol. 123 6th, Berlin，New York: Springer-Verlag, 1980 .