數學上,稱
上的實值函數
適合赫爾德條件,或稱赫爾德連續,當存在非負常數
,
,使得
,
![{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3809adb38945b19f148e0a477767b7961226d8)
這條件可以推廣至任何兩個度量空間之間的函數。
稱為赫爾德條件的指數。如果
,則函數適合利普希茨條件。如果
,則函數不過是有界的。
由適合某個赫爾德條件的函數組成的赫爾德空間,在泛函分析有關解偏微分方程的領域有基本地位。記
為某個歐幾里得空間的開集,赫爾德空間
所包含的函數,是直到n階微分都適合指數
的赫爾德條件。這是拓撲向量空間,可以定義半範數:
![{\displaystyle |f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3322f7883ff737684a22b744be0cf026eb0c7e)
對
,下式給出範數:
![{\displaystyle \|f\|_{C^{n,\alpha }}=\|f\|_{C^{n}}+\max _{|\beta |=n}|D^{\beta }f|_{C^{0,\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707994c982c25a914372cb3519bf8b4b9095ccfb)
其中
涵蓋所有多重指標,而
![{\displaystyle \|f\|_{C^{n}}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17a71ff4d44b13330aaa7cb09e452f98e3fec5f)
的例子[編輯]
- 如果
,那麼所有
赫爾德連續函數都是
赫爾德連續的。這也包括了
(這裡需要集合是有界的),所以所有利普希茨連續函數都是
赫爾德連續。
- 在
上定義函數
,
不是利普希茨連續;但對
,
是
赫爾德連續。