舒爾不等式

舒爾不等式說明，對於所有的非負實數x、y、z和實數t，都有：

$x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0$

若且唯若x = y = z，或其中兩個數相等而另外一個為零時，等號「=」成立。當t是正的偶數時，不等式對所有的實數x、y和z都成立。

證明

由於不等式是對稱的，不失一般性，我們不妨設$x\geq y\geq z$。對t分類討論: $t\geq 0$時,

$(x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0\,$

顯然成立，這是因為左邊的每一項都是非負的。同理，$t<0$時,

$(y-z)[z^{t}(x-z)-y^{t}(x-y)]+x^{t}(x-y)(x-z)\geq 0\,$

證畢。

推廣

舒爾不等式有一個推廣：

假設a、b、c是正的實數。如果（a，b，c）和（x，y，z）是同序的，則以下的不等式成立：

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0.$

2007年，羅馬尼亞數學家Valentin Vornicu證明了一個更一般的形式：

考慮$a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R}$，其中$a\geq b\geq c$，而且$x\geq y\geq z$或$z\geq y\geq x$。設$k\in \mathbb {Z} ^{+}$，並設$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$或者是凸函數，或者是單調函數。那麼：

${f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.\,$

當x = a、y = b、z = c、k = 1、f(m) = m^t時，即化為舒爾不等式。