群作用

給定一個等邊三角形，通過把所有頂點映射到另一個頂點，繞三角形中心逆時針 120°旋轉「作用」在這個三角形的頂點的集合上。

數學上，對稱群描述物體的所有對稱性。這是通過群作用的概念來形式化的：群的每個元素作為一個對射（或者對稱作用）作用在某個集合上。在這個情況下，群稱為置換群（特別是在群有限或者不是線性空間時）或者轉換群（特別是當這個集合是線性空間而群作為線性轉換作用在集合上時）。一個群G的置換表示是群作為一個集合的置換群的群表示（通常該集合有限），並且可以表述為置換矩陣，一般在有限的情形作此考慮－這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。

定義

令 $G$ 為一個群， $X$ 為一個集合， $G$ 在 $X$ 上的一個(左) 群作用 $\alpha$ 是一個二元函數

$\alpha :G\times X\rightarrow X$

該函數滿足如下兩條公理：

1. 對所有 $g,h\in G$ 以及 $x\in X$ ，$\alpha (gh,x)=\alpha (g,\alpha (h,x))$。
2. 對每個 $x\in X$ ，有 $\alpha (e,x)=x$ ( $e$ 為群 $G$ 的單位元素)。

一般稱群 $G$ （在左邊）作用於集合 $X$ 上，或稱 $X$ 是一個 $G$-集合。

為簡化在群作用 $\alpha$ 上使用的符號，我們可以將其柯里化：令 $\alpha _{g}:X\rightarrow X$ 為由單個元素 $g$ 給出的映射 $x\mapsto \alpha (g,x)$ ，這樣可以通過考慮函數集 $\{\alpha _{g}\mid g\in G\}$ 來研究群作用。上述兩條公理可以寫作

1. $\alpha _{e}(x)=x$
2. $\alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)$

其中 $\alpha _{g}\circ \alpha _{h}$ 表示兩函數的複合。所以第二條公理說明函數的複合可以與群運算互相對應，它們可以組成一個交換圖表。該公理甚至可以簡寫為 $\alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}$ 。

$\alpha (g,x)$ 一般簡寫為 $g\cdot x$ 或 $gx$ 。

由上述兩條公理可知，對固定的元素 $g\in G$ ，從$X$映射到$X$$x\mapsto g\cdot x$ 是一個對射（單射和滿射的條件可以分別通過考慮 $g^{-1}$ 和 $e$ 給出）。因此，也可以將 $G$ 在 $X$ 上的群作用定義為從 $G$ 到對稱群上$S_{X}$ 的群同態。

右群作用

我們可以類似地定義一個 $G$ 在 $X$ 上的右群作用為函數$X\times G\rightarrow X$，滿足以下公理：

1. $x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h$
2. $x\cdot e=x$

注意左和右作用的區別僅在於像 $gh$ 這樣的積在 $x$ 上作用的次序。左群作用中， $h$ 先作用，然後才到 $g$ ，而對於右作用 $g$ 先作用，然後才到 $h$ 。右作用與群上的逆操作複合可以構造出一個左作用。如果 $r$ 為一右作用，則

$l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})$

是一左作用，因為

$l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,$

而

$l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,$

所以我們可以不失一般性地考慮左群作用。

群作用的種類

群G作用在集合X上的作用稱為:

遞移性(Transitive)

如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y $\in$ X，則存在一個g$\in$G，使得$g\cdot x=y$，我們就稱此作用為遞移性。

忠實性(Faithful)

如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是群G到X的置換群之中為單射。

自由性(Free)

如果給定 $g,h\in G$，存在$x\in X$，則有著$g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h$，則稱為此作用為自由性。

正則的(Regular)

同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（英語：simply transitive）。

n-遞移性(n-transitive)

如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x₁, ..., x_n 和所有不同的y₁, ..., y_n, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅x_k = y_k 對所有 1 ≤ k ≤ n ，我們就稱其為n-遞移性。

本原的(Primitive)

如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。

軌道與穩定化子

軌道

令群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，對 $X$ 中的元素 $x$ ， $x$ 在 $G$ 上的軌道是 $X$ 的子集，定義為

$\{g\cdot x\mid g\in G\}$

記作 $G\cdot x$ 或 $Gx$ 。

集合 $X$ 的兩個軌道要麼相等，要麼完全不相交，因此軌道是集合的一個劃分。如果兩個軌道 $G\cdot x$ 和 $G\cdot y$ 存在公共元素 $a$ ，那麼存在兩個 $G$ 中的元素 $m$ 和 $n$ ，使得 $a=m\cdot x\in G\cdot x$ ， $a=n\cdot y\in G\cdot y$ 。因而 $x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in G\cdot y$ ，反之亦可推出 $y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in G\cdot x$ ，所以兩個集合相等。

軌道的一個例子是陪集，假若 $H$ 是 $G$ 的一個子集，且定義 $G$ 中元素的慣常運算規則為 $H$ 在$G$ 上的一個作用，那麼 $H$ 的陪集 $aH$ ($a\in G$)就是 $a$ 的軌道。

不變子集

令 $S$ 為 $X$ 的一個子集，群 $G$ 作用在 $X$ 上，對於群 $G$ 中的所有元素 $g$ ，以及所有 $S$ 中的元素 $s$ ，有 $g\cdot s\in S$，則我們會說 $S$ 在 $G$ 的作用下是封閉的。

若$x$是$\mathrm {X}$的一個元素，對於群$\mathrm {G}$中的所有元素$g$而言，都有$g\cdot x=x$，那麼就稱$x$是$\mathrm {G}$-不變的（$\mathrm {G}$-invariant）。

不動點與穩定子群

令 $g\in G$ 和 $x\in X$ ，如果 $g\cdot x=x$ ，則 $x$ 是關於 $g$ 的一個不動點。

對 $X$ 的元素 $x$ ，所有令 $g\cdot x=x$ 的 $G$ 中的元素 $g$ 構成的集合稱為 $G$ 關於 $x$ 的穩定子群，記作 $G_{x}$ 或 $Stab_{G}(x)$ 。

$G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ 。

$G_{x}$是$\mathrm {G}$的一個子群，因為根據定義$e\cdot x=x\in G_{x}$，因此 $G$ 的單位元素 $e$ 在 $G_{x}$ 中。如果 $m\in G_{x}$ ，那麼$m$的反元素$m^{-1}$也是$\mathrm {Gx}$的元素，因為$x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x$。

軌道－穩定點定理

軌道與穩定子群緊密相關。令群 $G$ 作用在 $X$ 上，令 $X$ 中的 $x$ ，考慮映射 $f:G\rightarrow X$ ， $g\mapsto g\cdot x$ 。該映射的值域等於軌道 $G\cdot x$ 。 $G$ 中的兩元素 $g$ 和 $h$ 的像 $f(g)$ 和 $f(h)$ 相同的條件是

$f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G\cdot x\iff h\in gG\cdot x$ 。

換言之， $f(g)=f(h)$ 若且唯若 $g$ 和 $h$ 在穩定子群 $G_{x}$ 的同一個陪集中。所以所有在軌道 $G\cdot x$ 中的元素 $y$ 的原像都包含於某個陪集中，每個陪集的像亦為 $X$ 的一個單元素集合。因此 $f$ 事實上是 $G_{x}$ 的所有陪集與 $X$ 的元素的一一對應， $f:G/G_{x}\rightarrow X$ 是一個對射函數。

這個結論稱為軌道-穩定點定理，有

$|G\cdot x|=[G:G_{x}]$

伯恩賽德引理

參見：伯恩賽德引理

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理

$|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|$

其中 $X^{g}$ 是 $X$ 關於 $g$ 的穩定子群。 $G$ 和 $X$ 都有限時該引理尤其重要，可以被詮釋為「群作用的軌道數等於平均每個群元素的不動點的個數」。

西羅定理

主條目：西羅定理

範例

• 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定義為 g⋅x = x 對任意g屬於G以及任意x屬於X；換句話說，每個群元素對應 X上的恆等置換。