第二基本形式

微分幾何中，第二基本形式（second fundamental form）是三維歐幾里得空間中一個光滑曲面的切叢上一個二次形式，通常記作 II。與第一基本形式一起，他們可定義曲面的外部不變量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛倫茲流形中，的一個光滑超曲面上，選取了一個光滑單位法向量場，則可定義這樣一個二形式。

$\mathbf {R} ^{3}$中曲面

引論

$\mathbf {R} ^{3}$中一個參數曲面$S$的第二基本形式由高斯引入。最先假設曲面是兩次連續可微函數的像，$z=f(x,y)$，且平面$z=0$與曲面在原點相切。則$f$以及關於$x$和$y$的偏導數在$(0,0)$皆為零。從而$f$在$(0,0)$處的泰勒展開以二次項開始：

$z=f_{xx}{\frac {x^{2}}{2}}+f_{xy}xy+f_{yy}{\frac {y^{2}}{2}}+o(n)$，

記 $L=f_{xx},M=f_{xy},N=f_{yy}$, 則在$(x,y)$坐標中原點處的第二基本形式是二次型：

$Ldx^{2}+2Mdxdy+Ndy^{2}.\,$

對 參數曲面$S$上一個光滑點$p$，總可以選取坐標系使得坐標的 z-平面與$S$切於$p$，然後可以相同的方式定義第二基本形式。

經典記號

一個一般參數曲面的第二基本形式定義如下。設$\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)$ 是$\mathbf {R} ^{3}$中一個正則參數曲面，這裡$\mathbf {r}$是兩個變量的光滑向量值函數。通常記$\mathbf {r}$關於$u$和$v$的偏導數為$\mathbf {r} _{u}$與$\mathbf {r} _{v}$。參數化的正則性意味著$\mathbf {r} _{u}$與$\mathbf {r} _{v}$對$\mathbf {r}$的定義域中任何$(u,v)$是線性無關的。等價地，叉積$\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}$是曲面的一個非零法向量。參數化這樣就定義了一個單位法向量場$\mathbf {n} (u,v)$：

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.$

第二基本形式通常寫成

$\mathrm {II} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},\,$

在基$\{\mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}\}$下的矩陣是

${\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.$

在參數化 uv-平面上一個給定點處係數$L$, $M$, $N$由$\mathbf {r}$在那個點的二次偏導數到$S$的法線上投影給出，利用點積可計算如下：

$L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} ,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} ,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} .$

現代記法

一個通常曲面$S$的第二基本形式定義如下：設$\mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2})$是$\mathbf {R} ^{3}$中一個正則參數曲面，這裡$\mathbf {r}$是兩個變量的光滑向量值函數。通常記$\mathbf {r}$關於$u^{\alpha }$的偏導數為$\mathbf {r} _{\alpha }$，$\alpha =1,2$。參數化的正則性意味著$\mathbf {r} _{1}$與$\mathbf {r} _{2}$在$\mathbf {r}$的定義域上是線性無關的，從而在每一點張成$\mathbf {S}$的切空間。等價地，叉積$\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}$是曲面的一個非零法向量。這樣參數化定義了一個單位法向量場$\mathbf {n}$：

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}$

第二基本形式通常寫作

$\mathrm {II} =b_{\alpha \beta }du^{\alpha }du^{\beta }$

上式使用了愛因斯坦求和約定。

在參數$(u^{1},u^{2})$-曲面給定點處係數$b_{\alpha \beta }$由$\mathbf {r}$的二次偏導數到$S$的法線的投影給出，利用點積可寫成：

$b_{\alpha \beta }=\mathbf {r} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {n}$

黎曼流形中的超曲面

在歐幾里得空間中，第二基本形式由

$I\!I(v,w)=\langle d\nu (v),w\rangle$

給出，這裡 $\nu$ 是高斯映射，而 $d\nu$ 是 $\nu$ 的微分視為一個向量值微分形式，括號表示歐幾里得空間的度量張量。

更一般地，在一個黎曼流形上，第二基本形式是描述一個超曲面形算子（記作$S$）的等價方法，

$\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle =-\langle \nabla _{v}n,w\rangle =\langle n,\nabla _{v}w\rangle ,$

這裡 $\nabla _{v}w$ 表示周圍空間的共變導數，$n$超曲面上一個法向量場。如果仿射聯絡是無撓的，則第二基本形式是對稱的。

第二基本形式的符號取決於$n$的方向的選取。（這稱為曲面的余定向，對歐幾里得空間中的曲面，等價於給定曲面的一個定向）。

推廣為任意餘維數

第二基本形式可以推廣到任意餘維數。在這種情形下，它是切空間上取值於法叢的一個二次型，可以定義為

$\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },$

這裡 $(\nabla _{v}w)^{\bot }$ 表示共變導數 $\nabla _{v}w$ 到法叢的正交投影。

在歐幾里得空間中，子流形的曲率張量可以描述為下列公式：

$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .$

這叫做高斯方程，可以視為高斯絕妙定理的推廣。在一個標準正交基中第二基本形式的本徵值，是曲面的主曲率。一組正交規範本徵向量稱為主方向。

對一般的黎曼流形必須添加周圍空間的曲率；如果$N$是嵌入黎曼流形$(M,g)$中一個流形，則$N$在誘導度量下的曲率張量 $R_{N}$ 可以用第二基本形式與$M$的曲率張量 $R_{M}$ 表示出來：

$\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .$

相關條目

• 第一基本形式
• 高斯曲率
• 高斯-科達齊方程

參考文獻

• Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7. 
• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325. 
• Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1. 

外部連結

• 關於第二基本形式的幾何的一篇博士論文，作者為 Steven Verpoort: https://lirias.kuleuven.be/bitstream/1979/1779/2/hierrrissiedan!.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）