第一基本形式

在微分幾何中，第一基本形式（first fundamental form）是三維歐幾里得空間中一個曲面的切空間中內積，由$\mathbf {R} ^{3}$中標準點積誘導。它使得曲面的曲率和度量性質（比如長度與面積）可與環繞空間一致地計算。第一基本形式用羅馬數字 I 表示：

$\mathrm {I} (v,w)=\langle v,w\rangle .\,$

設$X(u,v)$是一個參數曲面，則兩個切向量的內積為

${\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}$

這裡$E$、$F$與$G$是第一基本形式的係數。

第一基本形式可以表示為一個對稱矩陣

$\mathrm {I} (v,w)=v^{T}{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}w.$

進一步的記號

當第一基本形式寫成一個參數時，它表示向量與自己的內積，

$\mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}.\,$

第一基本形式寫成現代記法的度量張量。係數則可以寫做 $g_{ij}$：

$\left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}$

這個張量的分量是切向量$X_{1}$與$X_{2}$的數量積：

$g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}$

對$i,j=1,2$。具體例子可見下一節。

變數變換

如果有一個曲面具有兩個表示參數$X(u,v)$以及${\tilde {X}}({\tilde {u}},{\tilde {v}})$，則二者的第一基本形式的係數$E,F,G$與${\tilde {E}},{\tilde {F}},{\tilde {G}}$存在一個關係:

${\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {v}}_{u}\\{\tilde {u}}_{v}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tilde {E}}&{\tilde {F}}\\{\tilde {F}}&{\tilde {G}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {u}}_{v}\\{\tilde {v}}_{u}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}$，其中${\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {u}}_{v}\\{\tilde {v}}_{u}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}={\frac {\partial ({\tilde {u}},{\tilde {v}})}{\partial (u,v)}}$，所以說可以有

$EG-F^{2}=({\tilde {E}}{\tilde {G}}-{\tilde {F}}^{2})|{\frac {\partial (u,v)}{\partial (u,v)}}|^{2}$

計算長度與面積

第一基本形式完全描述了曲面的度量性質。從而，它使我們可以計算曲面上曲線的長度與區域的面積。線元素可以用第一基本形式的係數表示為：

$ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,$.

由 $dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv$ 給出的經典面積元素可以用第一基本形式的係數利用拉格朗日恆等式寫出，

$dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\langle X_{u},X_{v}\rangle ^{2}}}\ du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.$

例子

$\mathbf {R} ^{3}$中單位球面可如下參數化

$X(u,v)={\begin{pmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{pmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ).$

$X(u,v)$ 分別對 u 和 v 微分得出

$X_{u}={\begin{pmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{pmatrix}},\ X_{v}={\begin{pmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{pmatrix}}.$

第一基本形式的係數可由取偏導數的點積得到：

$E=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v$

$F=X_{u}\cdot X_{v}=0$

$G=X_{v}\cdot X_{v}=1$

球面上曲線的長度

球面的赤道可由 $(u(t),v(t))=(t,{\frac {\pi }{2}})$ 參數化，這裡$t$取值於 0 到 $2\pi$。線元素可用來計算這個曲線的長度。

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\sin v\,dt=2\pi \sin v=2\pi .$

球面上區域的面積

面積元素可用來計算球面的面積：

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi .$

高斯曲率

主條目：高斯曲率

一個曲面的高斯曲率由

$K={\frac {\det II}{\det I}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},$

給出，這裡$L$、$M$與$N$是第二基本形式的係數。

高斯的絕妙定理斷言一個曲面的高斯曲率可以只用第一基本形式及其導數表示，從而$K$事實上是曲面的一個內蘊不變量。高斯曲率用第一基本形式明確的表達式由 Brioschi 公式給出。

另見

• 度量張量
• 第二基本形式

外部連結

• First Fundamental Form — from Wolfram MathWorld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• PlanetMath: first fundamental form （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）