在複分析中,留數定理,又叫殘數定理(英語:Residue theorem),是用來計算解析函數沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具,也可以用來計算實函數的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推論。
假設
是複平面上的一個單連通開子集,
是複平面上有限個點,
是定義在
的全純函數。如果
是一條把
包圍起來的可求長曲線,但不經過任何一個
,並且其起點與終點重合,那麼:
![{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6308b3568edef0ca286eea192c8a0c7600db8a4)
如果γ是若爾當曲線,那麼I(γ, ak) = 1,因此:
![{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d8bfc2f78a80584e4ae6e0ef025713acab653d)
在這裡,Res(f, ak)表示f在點ak的留數,I(γ, ak)表示γ關於點ak的卷繞數。卷繞數是一個整數,它描述了曲線γ繞過點ak的次數。如果γ依逆時針方向繞著ak移動,卷繞數就是一個正數,如果γ根本不繞過ak,卷繞數就是零。
實軸上的積分[編輯]
以下的積分
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a14bfc1c60ac02763aaca58fcf2b8df325eb8a3)
積分路徑
在計算柯西分布的特徵函數時會出現,用初等微積分計算並不容易。我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限,積分路徑為沿著實直線從−a到a,然後再依逆時針方向沿著以0為中心的半圓從a到−a。取a為大於1,使得虛數單位i包圍在曲線裡面。路徑積分為:
![{\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48acfdbac9d40e2a794d766b3df70ac08e2ac57e)
由於eitz是一個整函數(沒有任何奇點),這個函數僅當分母z2 + 1為零時才具有奇點。由於z2 + 1 = (z + i)(z − i),因此這個函數在z = i或z = −i時具有奇點。這兩個點只有一個在路徑所包圍的區域中。
由於f(z)是
![{\displaystyle {\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4b5557b560ff0aa4ff4acd80d96caeca20477a) |
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f(z)在z = i的留數是:
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdecb422f0625005684394608b86aea4bc42f95)
根據留數定理,我們有:
![{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0eeb0d72f63c4f150c536014b8eaaf540a5f33)
路徑C可以分為一個「直」的部分和一個曲線弧,使得:
![{\displaystyle \int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a727950b607d53ce3438cad4555a2cf4900327)
因此
![{\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa99aff33d9917b8a38a5963e6945fc96460f1e3)
如果t > 0,那麼當半圓的半徑趨於無窮大時,沿半圓路徑的積分趨於零:
![{\displaystyle \int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\leq \int _{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^{2}+1}\right|\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^{2}+1|}\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{1 \over |z^{2}+1|}\,|dz|\leq \int _{\mbox{arc}}{1 \over a^{2}-1}\,|dz|={\frac {\pi a}{a^{2}-1}}\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08587b04233af526f868098577f803ebb4aae1f)
上述結果也可以直接由Jordan引理得到[1],要注意這裡的半圓弧上積分隨半徑增長趨於0必須要
才能成立,所以如果
就必須考慮下半平面上的半圓弧。
因此,如果t > 0,那麼:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e770ae2bcf79d79b95c3d151507d3df7d28100)
類似地,如果曲線是繞過−i而不是i,那麼可以證明如果t < 0,則
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd43a2ab16f8896444b1913e1e29e4fb1f28c7ef)
因此我們有:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b3523ad94668c221ca84522e8d62f60a22ce00)
(如果t = 0,這個積分就可以很快用初等方法算出來,它的值為π。)
無窮級數[編輯]
由於
在
為整數時皆為一階極點,並且留數皆為
,因此可以用來計算如下所示級數:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba8c029528552b7192ce4030b3064a3c48ec313)
在此處令
,並且令
為
的正方形正向(逆時針)圍道(其中
為整數),於是依留數定理:
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z^{2}}}\mathrm {d} z=\operatorname {Res} _{z=0}+{\underset {n\neq 0}{\sum _{n=-N}^{N}}}{\frac {1}{n^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e1f9babfdbb661a27a9ffda7bd9ab2eebbeb8f)
當
時,等式左側由於
而趨於零;另一方面:
![{\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}=1-{\frac {B_{2}z^{2}}{2!}}+\cdots =1-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00029718b836294390b91c4457a473339bce6f54)
其中有伯努利數
。
(實際上有
)因此,
,可以得出:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a915462f991c41d6da8e006e857aed0ee427cf)
即為巴塞爾問題的證明之一。
參考文獻[編輯]
- Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9
- Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan, The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4
- Lindelöf, Ernst, Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, Editions Jacques Gabay, 19051989, ISBN 2-87647-060-8
外部連結[編輯]