卜瓦松過程

卜瓦松過程

機率密度函數
期望值	$a_{0,t}=\int _{0}^{t}\lambda (\alpha )d\alpha$
共變異數矩陣	$a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}-(a_{0,t})^{2}=a_{0,t}$ since $R_{x}(t_{1},t_{2})=a_{0,min(t_{1},t_{2})}+a_{0,t_{1}}a_{0,t_{2}}$ where for $E\{X^{2}\}=R_{x}(t,t)=a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}$

開始的卜瓦松過程視覺化描述

Poisson過程（Poisson process，也譯為布瓦松過程、布阿松過程、波以松過程、卜氏過程等），是以法國數學家卜瓦松（1781 - 1840）的名字命名的。卜瓦松過程是隨機過程的一種，是以事件的發生時間來定義的。 這個過程本身是在幾種情況下，包括放射性衰變、電話通話到達率和精算學的實驗中，被獨立地重複發現的。

我們說一個 隨機過程 $N(t)$是一個時間齊次的一維卜瓦松過程，如果它滿足以下條件：

• 在兩個互斥（不重疊）的區間內所發生的事件的數目是互相獨立的隨機變數。

• 在區間$[t,t+\tau ]$內發生的事件的數目的機率分布為：

$P[(N(t+\tau )-N(t))=k]={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots$

其中λ是一個正數，是固定的母數，通常稱為抵達率（arrival rate）或強度（intensity）。所以，如果給定時間區間$[t,t+\tau ]$，則時間區間之中事件發生的數目隨機變數$N(t+\tau )-N(t)$呈現卜瓦松分布，其母數為$\lambda \tau$。

更一般地來說，一個卜瓦松過程是在每個有界的時間區間或在某個空間（例如：一個歐幾里得平面或三維的歐幾里得空間）中的每一個有界的區域，賦予一個隨機的事件數，使得

• 在一個時間區間或空間區域內的事件數，和另一個互斥（不重疊）的時間區間或空間區域內的事件數，這兩個隨機變數是獨立的。

• 在每一個時間區間或空間區域內的事件數是一個隨機變數，遵循卜瓦松分布。（技術上而言，更精確地來說，每一個具有有限測度的集合，都被賦予一個卜瓦松分布的隨機變數。）

卜瓦松過程是萊維過程（Lévy process）中最有名的過程之一。時間齊次的卜瓦松過程也是時間齊次的連續時間Markov過程的例子。一個時間齊次、一維的卜瓦松過程是一個純出生過程，是一個出生-死亡過程的最簡單例子。

性質

考慮一個卜瓦松過程，我們將第一個事件到達的時間記為$T_{1}$。此外，對於$n>1$，以$T_{n}$記在第$n-1$個事件與第$n$個事件之間用去的時間。序列$\{T_{n},n=1,2,...\}$稱為到達間隔時間列。

• $T_{n}(n=1,2,...)$是獨立同分布的指數隨機變數，具有均值${\frac {1}{\lambda }}$。

參見

• 卜瓦松分布
• 馬爾科夫鏈