柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式（英語：Cauchy–Schwarz inequality），又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西不等式，在多個數學領域中均有應用的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和機率論的變異數和共變異數。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣，如赫爾德不等式。

不等式以奧古斯丁-路易·柯西，赫爾曼·施瓦茨，和維克托·布尼亞科夫斯基命名。

敘述

$V$ 是個複內積空間，則對所有的 $v,\,w\in V$ 有：

(a) $\|v\|\|w\|\geq |\langle v,\,w\rangle |$

(b) $\|v\|\|w\|=|\langle v,\,w\rangle |$ $\Leftrightarrow$ 存在 $\lambda \in \mathbb {C}$ 使 $v=\lambda \cdot w$

證明請見內積空間#範數。

特例

Rⁿ-n維歐幾里得空間

對歐幾里得空間Rⁿ，有

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)$。

等式成立時：

${\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.$

也可以表示成

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}$

證明則須考慮一個關於$t$的一個一元二次方程式 $(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0$

很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式$D\leq 0$

注意到

$(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq 0$

⇒$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0$

則

$D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0$

即

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}$

$(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0$

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}$

而等號成立於判別式$D=0$時

也就是此時方程式有重根，故

${\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.$

• 對平方可積的複值函數，有

$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx$。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

• 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恆等式

$\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}$。

這是

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}\right)$

在n=3 時的特殊情況。

L²

對於平方可積複值函數的內積空間，有如下不等式：

$$\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.$$

赫爾德不等式是該式的推廣。

矩陣不等式

設$x,y$為列向量，則$|x^{*}y|^{2}\leq x^{*}x\cdot y^{*}y$

$x=0$ 時不等式成立，設$x$非零，$z=y-{\cfrac {y^{*}x}{\|x\|^{2}}}x$，則$x^{*}z=0$

$0\leq \|z\|^{2}=z^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {x^{*}y}{\|x\|^{2}}}x^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {|x^{*}y|^{2}}{\|x\|^{2}}}$

$|x^{*}y|^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}$

等號成立$\Leftrightarrow z=0\Leftrightarrow y$與$x$線性相依

設$A$為$n\times n$Hermite陣，且$A\geq 0$，則$|x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay$

存在$A^{1/2}$，設$u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y$

$|u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v$

$|x^{*}A^{1/2}A^{1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{1/2}A^{1/2}y$

$|x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay$

等號成立$\Leftrightarrow y$與$x$線性相依

設$A$為$n\times n$Hermite陣，且$A>0$，則$|x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y$

存在$A^{1/2},A^{-1/2}$，設$u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y$

$|u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v$

$|x^{*}A^{1/2}A^{-1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{-1/2}A^{-1/2}y$

$|x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y$

等號成立$\Leftrightarrow x$與$A^{-1}y$線性相依

若$\displaystyle q_{i}\geq 0,\sum _{i}q_{i}=1$，則$\displaystyle (x^{*}A^{\sum _{i}a_{i}q_{i}}x)\leq \prod _{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}$

複變函數中的柯西不等式

設 $f(z)$在區域$D$及其邊界上解析，$a$ 為$D$內一點，以$a$為圓心做圓周 $C_{R}:|z-a|=R$，只要$C_{R}$及其內部$G$均被$D$包含，則有：

$\left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)$

其中，M是$|f(z)|$的最大值，$M=\max \limits _{|x-a|\in R}|f(x)|$ 。

其它推廣

${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq \sum _{j=1}^{m}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}$

$m\geq \alpha >0,(\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha }\leq \prod _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha }$

參見

• 三角不等式
• 內積空間