有關張量在廣義範圍內的性質和重要性的介紹,請參閱
張量。
在數學中,處理張量理論的現代無分量(component-free)方法首先將張量視為抽象對象,表示多重線性概念的某些特定類型。他們一些熟知的性質可由作為線性映射或更廣泛地定義得出;而張量的操作導致了線性代數擴張為多重線性代數。
在微分幾何中,一個內蘊的幾何論斷也許可以用一個流形上的張量場表示,這樣完全不必使用參考坐標系。在廣義相對論中同樣如此,張量場描述了物理性質。無分量方法在抽象代數與同調代數中也很常用,在那裡張量自然地出現了。
用向量空間的張量積定義[編輯]
給定域
上一個有限向量空間集合
,我們可以考慮他們的張量積
。這個張量積中的一個元素稱為一個張量(但這不是本文討論的張量概念)。
向量空間
上的張量定義成具有形式
![{\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51cd6d35926dedc4a0bf248185a6dfed38aaacd)
的向量空間中的一個元素(即向量),這裡 V* 是 V 的對偶空間。
如果在我們的積中有
個
與
個
,張量稱為
型,具有反變(contravariant)階數
與共變(covariant,也稱協變)階數
,總階數為
。零階張量就是數量(域
中的元素),1 階反邊張量是
中的向量,1 階共變張量是
中的1-形式(因此,後兩個空間經常稱為反變向量與共變向量)。
型張量
![{\displaystyle V\otimes V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7357cc6d99957d5b1c38160284567b2410a9b45a)
自然同構於從
到
的線性變換空間。一個實向量空間
的內積自然對應於
張量
![{\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd251e74763f0f42feb6b60ecd94bdb44812c48)
稱為相應的度量,一般記作
。
其它記法[編輯]
文獻中通常不寫出完整的張量積以表示
型張量的空間,而使用縮寫:
![{\displaystyle {\begin{matrix}T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69cfe5ccf9a1da414b7fcdf2192f7e8aff15fef)
這個空間的另外一種記法是用從向量空間
到向量空間
的線性映射來表示。讓
![{\displaystyle L(V,W)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9243e7e37bdfad3f999ea4c9ee52f5dbdc33791)
表示所有從
到
的線性映射的集合,這會形成一個向量空間。因此,例如對偶空間(線性泛函的空間)可以寫成
![{\displaystyle V^{*}\cong L(V,\mathbb {R} );}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ad4085fc42e88faa12d582b2089e9c169c5d8a)
由 universal property 可知,(m,n)-張量有如下自然的同構(isomorphism)關係
![{\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n},\mathbb {R} )\cong L^{m+n}(V^{*},\dots ,V^{*},V,\dots ,V,\mathbb {R} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5ba088939556ff5bff9703d756136ccc5c698d)
在上面的公式中,
和
的角色互換了。特別地,我們有
![{\displaystyle T_{0}^{1}(V)\cong L(V^{*},\mathbb {R} )\cong V,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40595f2ac3e69693601853efded749cdc3ce2ae8)
與
![{\displaystyle T_{1}^{0}(V)\cong L(V,\mathbb {R} )\cong V^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66783147342abf966d8edae5afadad9d70e34806)
以及
![{\displaystyle T_{1}^{1}(V)\cong L(V,V).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c302e88818037263171d24d7fb11e115af2ef08)
以下記法
![{\displaystyle GL(V,W)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd125c422b08394744daec6187ae19eabc018cb)
通常用來表示從 V 到 W 的可逆線性變換的空間,但對於張量空間沒有類似的記法。
張量場[編輯]
微分幾何、物理學和工程學必須經常要處理光滑流形上的張量場。術語「張量'」實際上有時用作張量場的簡稱。一個張量場表達了逐點變化的張量的概念。
張量在不同座標間的變換公式[編輯]
對任何給定向量空間
我們有
的一組基底
,以及對應的對偶空間
以及和向量基底
對應的對偶基底
(也可用
來表示)。上指標與下指標的區別提醒我們分量變換的方式以及向量跟餘向量(covector)或是向量跟餘向量的係數的分別。
例如,取空間
![{\displaystyle V\otimes V\otimes V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7b6e7a5310210575e35f523a6c601693ffd64b)
中的張量
,在我們的坐標系下分量可寫成
![{\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a01e7044b067b7dabf98b6d17fa7bf02b5f828)
這裡我們使用愛因斯坦求和約定,這是處理張量份量的一種常見約定:即當張量分量同時出現了一組上指標與下指標時,我們對這上下指標所有可能值求和,比如說:
這符號,在這約定下即代表
。也就是說在在愛因斯坦求和約定下我們有
。在物理中我們經常使用表達式
![{\displaystyle T^{ij}{}_{k}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75f16848547fd34b1ab909c623b47b1ae18dc64)
來表示張量,就像向量經常寫成分量形式,這可以視為一個
數組。假設在另一坐標系中,有另一組基底
,則對同一向量來說兩組基底對應的分量將會不同。如果
是兩基底間的變換矩陣(注意這不是一個張量,因為它表達一個基的變化而不是一個幾何實體),也就是
![{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j}R_{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357b92b09e1e6a0a159c96cd1aa7eefc769b018f)
,設
是
的逆矩陣,對同一張量在新基底的張量分量設為
,則兩者之間的變換公式為:
![{\displaystyle {\hat {T}}^{i'j'}\!{}_{k'}=\sum _{p,q,r}(R^{-1})_{p}^{i'}\,(R^{-1})_{q}^{j'}\,R_{k'}^{r}\,T^{pq}{}_{r}=(R^{-1})_{p}^{i'}\,(R^{-1})_{q}^{j'}\,R_{k'}^{r}\,T^{pq}{}_{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3cb279648b15194a9daf02294d877ae1ccc074)
注意上面的第二個等式使用了愛因斯坦求和約定。
在舊教材中這個變換規律經常作為一個張量的定義。形式上,這意味這那個張量作為所有坐標變換組成的群的一個特定表示。
參考文獻[編輯]